Esercizio omnicomprensivo sulla Differenza di Proporzioni Campionarie

“Tra 14 donne belle, 7 hanno vissuto l’esperienza di essere aiutate a cambiare
la gomma dell’auto; in un gruppo di 21 donne non particolarmente attraenti,
invece, sono state aiutate in 5. Stabilire se, al livello di significatività dello 0.05,

si può concludere che la bellezza é un incentivo anche a cambiare gomme”.

Nota. Il test é a una coda.

 

Prima parte.

Cominciamo a valutare la possibilità di usare il Test ChiQuadrato, che sarà

a 1 grado di libertà perché la tabella di contingenza é 2 x 2. Ricordiamo che

tale test corrisponde al quadrato di una distribuzione normale.

 

TabC        A        NA        tot

B                 7         7           14

                (4.8)   (9.2)

NB              5       16           21

              (7.2)    (13.8)

tot             12       23          35

 

Se l’ipotesi nulla Ho fosse vera, gli aiuti, 12/35,  dovrebbero essere equamente

e quindi proporzionalmente ripartiti nelle due categorie B/NB; ci aspetteremmo

quindi di trovare 12/35 * 14 = 4.8 e 12/35 * 21 = 7.2 al posto delle occorrenze

osservate. Le altre frequenze attese si calcolano per differenza rispetto ai totali

di riga e/o di colonna.

Possiamo dunque affermare, applicando la correzione di Yates ( perché gl = 1 ),

che  Chi^2 = (|7 – 4.8| – 0.5)^2/4.8 + (|5 – 7.2|-0.5)^2/7.2 +

+ (|7 – 9.2| – 0.5)^2/9.2 + (|16 – 13.8|-0.5)^2/13.8 =

= 2.89 * (1/4.8 + 1/7.2 + 1/9.2 + 1/13.8 ) = 1.527 ;

dalla tabella del chiquadrato possiamo dedurre che

pvalue = 1 – chi2cdf (1.527, 1) = 0.2166

e questa va dimezzata perché il ChiQuadrato é un test intrinsecamente

a due code mentre il nostro é a 1 coda e la normale é simmetrica.

Allora pvalue = 0.1083 > 0.05 e l’ipotesi nulla non può essere rigettata.

 

Seconda Parte.

Verifichiamo che la conclusione é identica usando il test z per la

Differenza delle Proporzioni Campionarie.

La proporzione aggregata é p = (7 + 5)/(14 + 21) = 12/35 e q = 1 – p = 23/35.

Pertanto z = ( |7/14 – 5/21| – 1/2*(1/14 + 1/21))/sqrt (12/35*23/35*(1/14 + 1/21)) =

= 1.2357    il cui quadrato é esattamente 1.527.

Risulterà quindi pvalue = 1 – normcdf(1.2357) = 0.1083 > 0.05

e la conclusione é identica a quanto visto prima.

 

Terza parte.

Ora ci viene un dubbio. Una delle frequenze attese é risultata 4.8

e il ChiQuadrato può dare problemi se qualcuna é inferiore a 5.

Questo non “dovrebbe” accadere nel nostro caso perché non eravamo

in zona critica [ pvalue non era “vicino” ad alfa ] ma c’é soltanto

un modo per assicurarsene : eseguire un Test Esatto di Fischer

unilatero.

 

Assegnate le proporzioni campionarie a/b e c/d di cui la prima é

la minore (nel nostro caso a/b = 5/21 e c/d = 7/14) sotto l’ipotesi nulla

di “non differenza” la probabilità che 5 osservazioni o meno capitino

nel gruppo di 21 é

pvalue = Somma_k:0->5   C(21,k)*C(14, 12 – k)/C(35,12)

Somma_k:0->a C(b,k) C(d, a+c-k) / C(b+d, a+c)

che é una distribuzione ipergeometrica cumulata.

Nel formalismo di Octave hygecdf (X,T,M,N)

(M sono gli elementi marcati e T il totale, N l’ampiezza del campione

e X l’ultimo elemento da addizionare)

quello che abbiamo detto si traduce in

pvalue = hygecdf (a, b+d, a+c, b)

e nel nostro esempio pvalue = hygecdf (5,35,12,21) = 0.1087 > 0.05

e questo conferma un ottimo accordo : la lontananza dalla regione

critica rende inoffensiva la piccola frequenza osservata.

 

 

 

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