Ci proponiamo di determinare S_n:1->oo 1/(n^n) con 9 o più cifre decimali esatte.
Osserviamo che la serie é a termini positivi e che é convergente perché definitivamente maggiorata dalla
serie degli 1/n^2 che converge per il criterio degli integrali.
Inoltre la sua somma é maggiore di qualunque somma parziale.
Possiamo perciò affermare che un limite inferiore é S_n:1->N 1/(n^n)
mentre un limite superiore al residuo é 1/N^(N+1) + 1/N^(N+2) + …
che si può calcolare facilmente perché rappresenta una serie geometrica con q < 1.
Fatte queste premesse adottiamo la seguente strategia :
- Fissiamo N = 10
- Ci facciamo aiutare da Octave Online per i calcoli.
Avremo quindi
S10 = 1/1 + 1/2^2 + 1/3^3 + … + 1/10^10
e in Octave scriviamo
format long
s = 0;
for k = 1:10,
s = s + 1/(k^k)
endfor
ne risulta il limite inferiore s = 1.291285997059043.
per avere il limite superiore dobbiamo, come spiegato prima, maggiorare il resto con
1/10^11 + 1/10^12 + … = 1/(10^11) * (1 + 1/10 + 1/100 + … ) = 1/(10^11) * 1/(1 – 1/10) =
= 10/(9*10^11) = 1/(9*10^10)
e quindi S” = s + 1/(9*10^10) = 1.291285997070154
e abbiamo quindi la parte esatta ( comune alle due stime )
S ~ 1.2912859970 che ha 10 cifre decimali.
Nota – Se si pone N = 150 escono almeno 14 decimali esatti
S ~ 1.29128599706266