Esercizio di calcolo numerico – somma di una serie

Ci proponiamo di determinare S_n:1->oo  1/(n^n)    con 9 o più cifre decimali esatte.

Osserviamo che la serie é a termini positivi e che é convergente perché definitivamente maggiorata dalla

serie degli 1/n^2 che converge per il criterio degli integrali.

Inoltre la sua somma é maggiore di qualunque somma parziale.

Possiamo perciò affermare che un limite inferiore é S_n:1->N   1/(n^n)

mentre un limite superiore al residuo é 1/N^(N+1) + 1/N^(N+2) + …

che si può calcolare facilmente perché rappresenta una serie geometrica con q < 1.

 

Fatte queste premesse adottiamo la seguente strategia :

  1. Fissiamo N = 10
  2. Ci facciamo aiutare da Octave Online per i calcoli.

Avremo quindi

S10 = 1/1 + 1/2^2 + 1/3^3 + … + 1/10^10

e in Octave scriviamo

format long

s = 0;

for k = 1:10,

s = s + 1/(k^k)

endfor

 

 

ne risulta il limite inferiore s = 1.291285997059043.

per avere il limite superiore dobbiamo, come spiegato prima, maggiorare il resto con

1/10^11 + 1/10^12 + … = 1/(10^11) * (1 + 1/10 + 1/100 + … ) = 1/(10^11) * 1/(1 – 1/10) =

= 10/(9*10^11) = 1/(9*10^10)

e quindi S” = s + 1/(9*10^10) = 1.291285997070154

e abbiamo quindi la parte esatta ( comune alle due stime )

S ~ 1.2912859970    che ha 10 cifre decimali.

 

Nota – Se si pone N = 150 escono almeno 14 decimali esatti

S ~ 1.29128599706266

 

 

 

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SOS Matematica

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