Equazione differenziale lineare del I ordine

Si presenta nella forma

 

y'(x) = a(x) y(x) + b(x)       con a(x) e b(x) funzioni note (coefficienti variabili)

 

Se la riscriviamo come

y'(x) – a(x) y(x) = b(x)

e poi come

u(x) y'(x) – a(x) u(x) y(x) = u(x) b(x)  con u incognita e diversa da 0,

se i coefficienti di y’ e di y stanno fra loro nella relazione

u'(x) = – a(x) u(x)

allora a sinistra avremo

u(x) y'(x) + u'(x) y(x) = b(x) u(x)

e potremo procedere ad una integrazione avendo costruito

la derivata del prodotto u(x) y(x). Dovrà quindi risultare

du/u = – a(x) dx

ln |u| = S_[q,x] – a(t) dt

ln |u(x) |= – S_[q,x] a(t) dt + C

u(x) = C e^(-S_[q,x] a(t) dt )

in cui non c’é nessun problema a porre q = 0

Pertanto u(x) y(x) = S_[w,x] u(t) b(t) dt + C

e infine y(x) = 1/u(x)  S_[w,x]  u(t) b(t) dt + C/u(x)

y(x) = S_[q,x] e^(S_[w,t] a(t) dt )  S_[w,x] b(t) e^(-S_[f,t] a(s) ds) dt + C e^(S_[w,x] a(t) dt)

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SOS Matematica

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