Si presenta nella forma
y'(x) = a(x) y(x) + b(x) con a(x) e b(x) funzioni note (coefficienti variabili)
Se la riscriviamo come
y'(x) – a(x) y(x) = b(x)
e poi come
u(x) y'(x) – a(x) u(x) y(x) = u(x) b(x) con u incognita e diversa da 0,
se i coefficienti di y’ e di y stanno fra loro nella relazione
u'(x) = – a(x) u(x)
allora a sinistra avremo
u(x) y'(x) + u'(x) y(x) = b(x) u(x)
e potremo procedere ad una integrazione avendo costruito
la derivata del prodotto u(x) y(x). Dovrà quindi risultare
du/u = – a(x) dx
ln |u| = S_[q,x] – a(t) dt
ln |u(x) |= – S_[q,x] a(t) dt + C
u(x) = C e^(-S_[q,x] a(t) dt )
in cui non c’é nessun problema a porre q = 0
Pertanto u(x) y(x) = S_[w,x] u(t) b(t) dt + C
e infine y(x) = 1/u(x) S_[w,x] u(t) b(t) dt + C/u(x)
y(x) = S_[q,x] e^(S_[w,t] a(t) dt ) S_[w,x] b(t) e^(-S_[f,t] a(s) ds) dt + C e^(S_[w,x] a(t) dt)