Consideriamo la forma normale
a x^2 + b x + c = 0 con a =/= 0
Moltiplichiamo a destra e a sinistra per 4a che é diverso da 0.
4a( a x^2 + b x + c ) = 4a * 0
4a^2 x^2 + 4 a b x + 4 a c = 0
(2ax)^2 + 2*(2ax) * b = – 4ac
A sinistra c’é un quadrato di binomio incompleto, con primo termine 2ax e secondo termine b
Per completarlo aggiungiamo b^2 a sinistra e a destra
(2ax)^2 + 2(2ax) b + b^2 = b^2 – 4ac
(2ax + b)^2 = b^2 – 4ac
2ax + b = ± sqrt(b^2 – 4ac)
Se l’espressione sotto radice é non negativa l’abbiamo spezzata in due equazioni di primo grado
2ax = -b ± sqrt (b^2 – 4ac)
x = (-b ± sqrt (b^2 – 4ac ))/(2a) essendo a =/= 0
Osservazioni
Il segno di Delta = b^2 – 4ac definisce la natura delle radici :
reali e distinte se Delta > 0
reali e coincidenti se Delta = 0
non reali se Delta < 0
Inoltre si dimostra che se a tende a 0 le due radici tendono a -b/c
( soluzione dell’equazione di primo grado rimanente ) e all’infinito.