Disuguaglianza di Markov

Se X é una variabile casuale che assume solo valori positivi e a é un numero positivo,

Pr [ X > a ] <= E[X]/a.

Dimostrazione.

E[X] = S_[0,+oo] x fX(x) dx = S_[0,a] x fX(x) dx + S_[a,+oo] x fX(x) dx

che, essendo il primo addendo non negativo, comporta

E[X] >= S_[a,+oo] x fX(x) dx >= S_[a,+oo] a fX(x) dx = a S_[a, +oo] fX(x) dx =

= a Pr [X > a]. Essendo a > 0 ciò equivale a

Pr [X > a] <= E[X]/a e la tesi é provata.

 

Se ora si mette al posto di X la variabile    |X – uX|^2, certamente non negativa,

e si pone a = k^2 ( a é positivo ) si ottiene

Pr [ (X – uX)^2 > k^2 ] <= E [ (X – uX)^2]/k^2

ed infine risulta

Pr [ |X – uX| > k ] <= var [X]/k^2

per cui la disuguaglianza di Tchebicev é un caso particolare di quella di Markov.

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