Sia S = X + Y e fXY(x,y) la densità di probabilità congiunta di X e Y.
Risulta
FS(s) = Pr [ S <= s ] = Pr [ (X, Y) in Ds ] = SS_[Ds] fXY(x,y) dx dy essendo
Ds = { – oo < x < +oo, -oo < y < s – x }
per cui anche FS(s) = S_[-oo,+oo] S_[-oo, s-x] fXY(x,y) dy dx =
= S_[-oo,+oo] P(s – x) dx
ed infine
fS(s) = d/ds S_[-oo,+oo] P(s – x) dx = S_[-oo,+oo] d/ds P(s – x) dx =
= S_[-oo,+oo] fXY(x, s – x) * 1 dx = S_[R] fXY(x, s – x) dx
che é l’integrale di sovrapposizione.
Nel caso particolare che X e Y siano indipendenti,
fXY(x,y) = fX(x) fY(y)
per cui fS(s) = S_[-oo,+oo] fX(x) fY(s – x) dx
e ritroviamo l’integrale di convoluzione.
Se adesso chiamiamo “funzione caratteristica” di una variabile casuale la trasformata di Fourier della sua
densità di probabilità, per il Teorema della Convoluzione risulterà che
“la funzione caratteristica della somma S di due variabili casuali indipendenti X e Y é il prodotto algebrico
delle loro funzioni caratteristiche e questa proprietà, anche se ometto i dettagli dimostrativi, vale anche per
più di due variabili.