Distribuzione della somma di due variabili casuali con distribuzione nota

Sia S = X + Y      e  fXY(x,y) la densità di probabilità congiunta di X e Y.

Risulta

FS(s) = Pr [ S <= s ] = Pr [ (X, Y) in Ds ] = SS_[Ds] fXY(x,y) dx dy  essendo

 

Ds = { – oo < x < +oo,  -oo < y < s – x }

 

per cui anche   FS(s) = S_[-oo,+oo] S_[-oo, s-x] fXY(x,y) dy dx =

= S_[-oo,+oo] P(s – x) dx

ed infine

fS(s) = d/ds S_[-oo,+oo] P(s – x) dx = S_[-oo,+oo] d/ds P(s – x) dx =

= S_[-oo,+oo] fXY(x, s – x) * 1 dx = S_[R] fXY(x, s – x) dx

che é l’integrale di sovrapposizione.

Nel caso particolare che X e Y siano indipendenti,

fXY(x,y) = fX(x) fY(y)

per cui fS(s) = S_[-oo,+oo] fX(x) fY(s – x) dx

e ritroviamo l’integrale di convoluzione.

 

Se adesso chiamiamo “funzione caratteristica” di una variabile casuale la trasformata di Fourier della sua

densità di probabilità, per il Teorema della Convoluzione risulterà che

“la funzione caratteristica della somma S di due variabili casuali indipendenti X e Y é il prodotto algebrico

delle loro funzioni caratteristiche e questa proprietà, anche se ometto i dettagli dimostrativi, vale anche per

più di due variabili.

 

 

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