Problema:
Si risolva la seguente disequazione:
$2ln{2} +ln{sqrt{1+cos x}}+frac{ln{(1-cos x)}}{2}<-ln{|cos x|}$
Soluzione:
$2ln{2} +ln{sqrt{1+cos x}}+frac{ln{(1-cos x)}}{2}<-ln{|cos x|}$
Per le proprietà dei logaritmi diventa
$ln{4sqrt{1+cos x}sqrt{1-cos x}|cos x|}<0$
$ln{4sqrt{1-cos²x}|cos x|}<0$
$ln{4| sin x cos x}|<0$
$ln{2|sin2x|}<0$
Tenendo a mente che |sin2x|>0 ossia $frac{kπ}{2}<x<frac{π}{2}+frac{kπ}{2}$, con $kinmathbb{Z}$, si ha che
$2|sin2x|<1$
$|sin2x|<frac{1}{2}$
posto t=2x
$|sin t|<frac{1}{2}$
ossia
$frac{π}{6}+kπ<t<frac{5π}{6}+kπ$
Nota: viene utilizzato il periodo T=kπ perché la funzione è in valore assoluto e dunque, graficamente, tutto ciò che vi era al di sotto dell’asse delle ascisse viene “ribaltato”, conseguenza di ciò è che il periodo viene dimezzato. [Veda l’immagine allegata]
Sostituendo:
$frac{π}{6}+kπ<2x<frac{5π}{6}+kπ$
$frac{π}{12}+frac{kπ}{2}<x<frac{5π}{12}+frac{kπ}{2}$
Utilizzando la tabella dei segni tra
$frac{kπ}{2}<x<frac{π}{2}+frac{kπ}{2}$ e
$frac{π}{12}+frac{kπ}{2}<x<frac{5π}{12}+frac{kπ}{2}$ si ottiene:
0 – $frac{π}{12}$ + $frac{5π}{12}$ – $frac{π}{2}$, dato che il segno della disequazione è <, è necessario prendere in considerazione gli intervalli negativi. Si ottiene dunque:
$frac{k}{2}<x<frac{π}{12}+frac{kπ}{2} vee frac{5π}{12}+frac{kπ}{2}<x<frac{π}{2}+frac{kπ}{2}$, ove $kinmathbb{Z}$.
L’immagine che segue è stata realizzata tramite l’elaboratore grafico Desmos.
