Disequazione goniometrica con valore assoluto: esercizio svolto

Problema:

Si risolva la seguente disequazione:

$2ln{2} +ln{sqrt{1+cos x}}+frac{ln{(1-cos x)}}{2}<-ln{|cos x|}$

Soluzione:

$2ln{2} +ln{sqrt{1+cos x}}+frac{ln{(1-cos x)}}{2}<-ln{|cos x|}$

Per le proprietà dei logaritmi diventa

$ln{4sqrt{1+cos x}sqrt{1-cos x}|cos x|}<0$

$ln{4sqrt{1-cos²x}|cos x|}<0$

$ln{4| sin x cos x}|<0$

$ln{2|sin2x|}<0$

Tenendo a mente che |sin2x|>0 ossia $frac{kπ}{2}<x<frac{π}{2}+frac{kπ}{2}$, con $kinmathbb{Z}$, si ha che

$2|sin2x|<1$

$|sin2x|<frac{1}{2}$

posto t=2x

$|sin t|<frac{1}{2}$

ossia

$frac{π}{6}+kπ<t<frac{5π}{6}+kπ$

Nota: viene utilizzato il periodo T=kπ perché la funzione è in valore assoluto e dunque, graficamente, tutto ciò che vi era al di sotto dell’asse delle ascisse viene “ribaltato”, conseguenza di ciò è che il periodo viene dimezzato. [Veda l’immagine allegata]

Sostituendo:

$frac{π}{6}+kπ<2x<frac{5π}{6}+kπ$

$frac{π}{12}+frac{kπ}{2}<x<frac{5π}{12}+frac{kπ}{2}$

 

Utilizzando la tabella dei segni tra

$frac{kπ}{2}<x<frac{π}{2}+frac{kπ}{2}$ e

$frac{π}{12}+frac{kπ}{2}<x<frac{5π}{12}+frac{kπ}{2}$ si ottiene:

0 – $frac{π}{12}$ + $frac{5π}{12}$ – $frac{π}{2}$, dato che il segno della disequazione è <, è necessario prendere in considerazione gli intervalli negativi. Si ottiene dunque:

$frac{k}{2}<x<frac{π}{12}+frac{kπ}{2} vee frac{5π}{12}+frac{kπ}{2}<x<frac{π}{2}+frac{kπ}{2}$, ove $kinmathbb{Z}$.

 

L’immagine che segue è stata realizzata tramite l’elaboratore grafico Desmos.

 

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