Consideriamo un insieme con 4 elementi ( con n elementi )
che vogliamo utilizzare – anche ripetendoli – per riempire una fila di 6 posti ( k posti ).
Come si vede, non é detto che debba essere k <= n. L’ordine non conta.
Supponiamo che i quattro elementi siano { R V G B }
e una possibile sequenza é : [ V B R R G B ].
Poiché l’ordine non conta, non cambia nulla se li ridisponiamo come
R R V G B B
che significa 2R 1V 1G 2B
oppure visivamente
* * || * || * || * *
R V G B
e più semplicemente
* * || * || * || * *
e abbiamo separato i 6 (k) elementi della fila in 4 (n) classi di equivalenza.
Il numero di modi in cui si può eseguire questa operazione allora é
il numero di modi in cui si possono fissare i posti degli n-1 (3 nel nostro esempio)
separatori mobili [ l’ultimo va sempre alla fine ] che indicano la fine del gruppo
fra i 6 + 3 ( in generale fra i k + (n-1) ) disponibili
ed é quindi C(6 + 4 -1, 4 – 1) = C(9,3) = 9!/(3!6!) = 84.
In generale si avrà
C'(n,k) = C(k + n – 1, n – 1) = C(n + k – 1, n-1) = C (n + k – 1, k )
per la proprietà di simmetria dei coefficienti binomiali.
Nota. I modi di scrivere k come somma di n addendi (eventualmente nulli) si determinano
usando questa formula.