Problema:
Determina tutti gli asintoti del grafico dell’equazione xy+3|x|-y=0.
Soluzione:
Prima di cercare gli asintoti è opportuno riscrivere la funzione tramite due equazioni per rimuovere il valore assoluto.
$xy+3x-y=0 rightarrow y_1=frac{3x}{1-x}, x≥0$
$xy-3x-y=0 rigtharrow y_2=-frac{3x}{1-x}, x<0$.
Per ricavare gli asintoti orizzontali è necessario calcolare i limiti della funzione per x che tende a ±∞:
$lim_{x rightarrow +∞}f(x)=lim_{x rightarrow +∞} frac{3x}{x-1}=3$
$lim_{x rightarrow -∞}f(x)=lim_{x rightarrow -∞} -frac{3x}{x-1}=-3$
La funzione presenta dunque come asintoto destro y=3 e come asintoto sinistro y=-3; non vi è alcun asintoto obliquo.
Per ricavare gli asintoti verticali è necessario calcolare limite destro e sinistro nel punto ove la funzione non è definita, ossia x=1.
$lim_{x rightarrow 1^+}f(x)=lim_{x rightarrow 1^+} frac{3x}{x-1}=+∞$
$lim_{x rightarrow 1^-}f(x)=lim_{x rightarrow 1^-} frac{3x}{x-1}=-∞$
La funzione presenta dunque anche un asintoto di equazione x=1.