Supponiamo di voler determinare la funzione la cui trasformata di Laplace é
Y(s) = 1/[s(s^2 + 1)].
Verificato che tale funzione non é nella tabella delle trasformate elementari,
procediamo in modo semplice (senza usare le proprietà avanzate) operando
una decomposizione in fratti semplici e poi affidandoci alla linearità *
Y(s) = A/s + (Bs + C)/(s^2 + 1) = 1/(s(s^2+1)) per ogni s
A(s^2 + 1) + (Bs + C) s = 1 per ogni s
As^2 + Bs^2 + Cs + A = 1 per ogni s
per il principio di identità dei polinomi
A + B = 0
C = 0
A = 1
A = 1, B =-1, C = 0
Y(s) = 1/s – s/(s^2 + 1)
e antitrasformando termine a termine si ha infine
y(t) = (1 – cos t)*1(t) = 2 sin^2 (t/2) * 1(t).
*Nota : Se un operatore lineare é invertibile, il suo inverso é anch’esso lineare.
Infatti risulta :
T^(-1) [ u1 y1 + u2 y2 ] = T^(-1) [ u1 T(x1) + u2 T(x2) ] = T^(-1) [ T (u1 x1 + u2 x2 ) ] =
perché T é lineare
= u1 x1 + u2 x2 = [per definizione di operatore inverso]
= u1 T^(-1)(y1) + u2 T^(-1)(y2)
e la tesi é dimostrata.