Antitrasformazione di Laplace – un esempio semplice

Supponiamo di voler determinare la funzione la cui trasformata di Laplace é

Y(s) = 1/[s(s^2 + 1)].

Verificato che tale funzione non é nella tabella delle trasformate elementari,

procediamo in modo semplice (senza usare le proprietà avanzate) operando

una decomposizione in fratti semplici e poi affidandoci  alla linearità *

Y(s) = A/s + (Bs + C)/(s^2 + 1) =  1/(s(s^2+1)) per ogni s

A(s^2 + 1) + (Bs + C) s = 1    per ogni s

As^2 + Bs^2 + Cs + A = 1    per ogni s

per il principio di identità dei polinomi

A + B = 0

C = 0

A = 1

A = 1, B =-1, C = 0

 

Y(s) = 1/s  – s/(s^2 + 1)

e antitrasformando termine a termine si ha infine

y(t) = (1 – cos t)*1(t) = 2 sin^2 (t/2) * 1(t).

 

*Nota : Se un operatore lineare é invertibile, il suo inverso é anch’esso lineare.

Infatti risulta :

T^(-1) [ u1 y1 + u2 y2 ] = T^(-1) [ u1 T(x1) + u2 T(x2) ] = T^(-1) [ T (u1 x1 + u2 x2 ) ] =

perché T é lineare

= u1 x1 + u2 x2  =         [per definizione di operatore inverso]

= u1 T^(-1)(y1) + u2 T^(-1)(y2)

e la tesi é dimostrata.

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SOS Matematica

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