Teorema di Rocuhè-Capelli

Definizione di Teorema di Rouchè-Capelli

Un sistema di equazioni lineari ammette soluzione se e soltanto se la matrice completa C ha lo stesso rango della matrice A dei coefficienti del sistema.


Esempi svolti

Verificare se è possibile o no il sitema seguente:

{x+4y+3z=82x+y3z=4x2y+z=1

Svolgimento

La matrice dei coefficienti e la matrice completa del sistema sono rispettivamente:

A=[143213121]

A=[143821341211]

Com’è facile verificare, si ha che |A|=0 e quindi la matrice A non ha rango 3 ; si ha invece che il minore

|1421|=9

è un minore non nullo di ordine 2 . la matrice A, perciò, ha rango 2 .

Invece si ha che

|438134211|=15

è un minore non nullo di A di ordine 3 . A perciò ha rango 3 .

Il sistema dato è dunque impossibile.


Sistema Impossibile

Se il rango della matrice completa è maggiore del rango della matrice incompleta, allora il sistema lineare è impossibile e non ammette soluzioni.


Sistema Compatibile

Se il rango della matrice completa coincide con il rango della matrice incompleta, allora il sistema è compatibile (ammette cioè una o infinite soluzioni).


Soluzioni del Sistema

  • Se il rango r della matrice dei coefficienti è minore del numero delle incognite n, il sistema ammette
    (nr)soluzioni
  • Se il rango r della matrice dei coefficienti è uguale al numero delle incognite n, il sistema ammette una sola soluzione.
SOS Matematica

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