Definizione di Teorema di Rouchè-Capelli
Un sistema di equazioni lineari ammette soluzione se e soltanto se la matrice completa
Esempi svolti
Verificare se è possibile o no il sitema seguente:
Svolgimento
La matrice dei coefficienti e la matrice completa del sistema sono rispettivamente:
Com’è facile verificare, si ha che
è un minore non nullo di ordine 2 . la matrice A, perciò, ha rango 2 .
Invece si ha che
è un minore non nullo di
Il sistema dato è dunque impossibile.
Sistema Impossibile
Se il rango della matrice completa è maggiore del rango della matrice incompleta, allora il sistema lineare è impossibile e non ammette soluzioni.
Sistema Compatibile
Se il rango della matrice completa coincide con il rango della matrice incompleta, allora il sistema è compatibile (ammette cioè una o infinite soluzioni).
Soluzioni del Sistema
- Se il rango r della matrice dei coefficienti è minore del numero delle incognite
, il sistema ammette - Se il rango r della matrice dei coefficienti è uguale al numero delle incognite
, il sistema ammette una sola soluzione.