Definizione di Teorema di Rouchè-Capelli
Un sistema di equazioni lineari ammette soluzione se e soltanto se la matrice completa $\mathrm{C}$ ha lo stesso rango della matrice A dei coefficienti del sistema.
Esempi svolti
Verificare se è possibile o no il sitema seguente:
$$\begin{equation}
\begin{cases}
x+4 y+3 z=8\\ -2 x+y-3 z=-4 \\x-2 y+z=1
\end{cases}
\end{equation}$$
Svolgimento
La matrice dei coefficienti e la matrice completa del sistema sono rispettivamente:
$$A=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 3 \\ -2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1\end{bmatrix} $$
$$A^{\prime}=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 3 & 8 \\ -2 & 1 & -3 & -4 \\ 1 & -2 & 1 & 1\end{bmatrix} $$
Com’è facile verificare, si ha che $|A|=0$ e quindi la matrice $A$ non ha rango 3 ; si ha invece che il minore
$$\begin{vmatrix}1 & 4 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}=9$$
è un minore non nullo di ordine 2 . la matrice A, perciò, ha rango 2 .
Invece si ha che
$$\begin{vmatrix}4 & 3 & 8 \\ 1 & -3 & -4 \\-2 & 1 & 1 \end{vmatrix}=-15$$
è un minore non nullo di $A^{\prime}$ di ordine 3 . $A^{\prime}$ perciò ha rango 3 .
Il sistema dato è dunque impossibile.
Sistema Impossibile
Se il rango della matrice completa è maggiore del rango della matrice incompleta, allora il sistema lineare è impossibile e non ammette soluzioni.
Sistema Compatibile
Se il rango della matrice completa coincide con il rango della matrice incompleta, allora il sistema è compatibile (ammette cioè una o infinite soluzioni).
Soluzioni del Sistema
- Se il rango r della matrice dei coefficienti è minore del numero delle incognite $\mathrm{n}$, il sistema ammette
$$\infty^{(n-r)} soluzioni$$ - Se il rango r della matrice dei coefficienti è uguale al numero delle incognite $\mathrm{n}$, il sistema ammette una sola soluzione.