Enunciato del Teorema di Moltiplicazione delle Probabilità
La probabilità che si verifichino contemporaneamente l’evento A e I’evento $\mathrm{B}$ equivale al prodotto delle probabilità di ciascun evento. In formule:
$$
P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)
$$
Esempi svolti
Consideriamo due scatole.
Scatola 1: 5 biglie rosse e 5 blu
Scatola 2: 8 biglie rosse e 4 blu
Viene estratta una biglia da ogni urna. Qual è la probabilità che siano entrambe blu?
Svolgimento
L’evento “vengono estratte due biglie blu” è formato da due eventi elementari:
A = “si estrae una biglia blu dalla scatola 1”
B = “si estrae una biglia blu dalla scatola 2 “
Quindi, applicando la definizione classica di probabilità determiniamo la probabilità che si verifichi I’evento A. I casi favorevoli sono 5 e i casi totali 10 :
$$
P(A)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}
$$
Allo stesso modo calcoliamo la probabilità che si verifichi l’evento B. I casi favorevoli sono 4 , mentre i casi totali sono 12:
$$
P(B)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}
$$
Gli eventi risultano essere indipendenti, quindi la probabilità dell’evento intersezione è:
$$
P(A \cap B)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}
$$
$$
P(B)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}
$$
Gli eventi risultano essere indipendenti, quindi la probabilità dell’evento intersezione è:
$$
P(A \cap B)=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{6}
$$
Proprietà
Questa regola vale soltanto se A e B sono indipendenti, cioè nel caso in cui il verificarsi di A non influenzi il verificarsi di B e viceversa.