Enunciato del Teorema di Bayes
Il teorema di Bayes consente di calcolare la probabilità che, essendosi verificato un dato evento
che sono incompatibili ed esaustive.
Esempi svolti
Un’azienda che produce lampadine ha due linee di produzione: la linea A fornisce il
La linea B produce il restante
Se un pezzo è difettoso, qual è la probabilità che venga dalla linea B?
Svolgimento
La prima cosa da fare è quella di determinare la probabilità che la lampadina sia difettosa, per entrambe le linee di produzione. Quindi, per la linea di produzione A abbiamo:
Per la linea di produzione B abbiamo:
La probabilità totale delle lampadine difettose sono:
Ora determiniamo la probabilità
Quindi, se una lampadina è difettosa, la probabilità che provenga dalla linea di produzione A è del
Formula
Il teorema di Bayes si riassume con la seguente formula:
In questa formula compaiono:
- Probabilità a priori: non dipendono dal risultato empirico dell’evento B. Nella formula rappresentano:
- Verosimiglianze: rappresentano le probabilità con cui le singole cause Ai generano l’evento B. Nella formula sono:
- Probabilità a posteriori: sapendo che l’evento
si è verificato, esse dicono con quale probabilità la causa i-esima ha agito nel determinare B. Nella formula sono:
Spiegazione
In parole semplici è possibile spiegare il teorema nel seguente modo: se A è una possibile causa dell’evento B, una volta che B si sia verificato, il teorema di Bayes ci permette di calcolare la probabilità che esso sia stato generato da A.