Teorema di Bayes

Enunciato del Teorema di Bayes

Il teorema di Bayes consente di calcolare la probabilità che, essendosi verificato un dato evento B, abbia agito la causa Ai in un gruppo di n cause

A1,A2,,An
che sono incompatibili ed esaustive.


Esempi svolti

Un’azienda che produce lampadine ha due linee di produzione: la linea A fornisce il 60% della produzione giornaliera e il 5% dei suoi prodotti è difettoso (D);

La linea B produce il restante 40%, con il 3% di pezzi difettosi (D).
Se un pezzo è difettoso, qual è la probabilità che venga dalla linea B?

Svolgimento

La prima cosa da fare è quella di determinare la probabilità che la lampadina sia difettosa, per entrambe le linee di produzione. Quindi, per la linea di produzione A abbiamo:

P(A)P(DA)=0.60.05 =0.03

Per la linea di produzione B abbiamo:

P(B)P(DB)=0.40.03 =0.012

La probabilità totale delle lampadine difettose sono:

P(D)=0.03+0.012=0.042

Ora determiniamo la probabilità P(AD) applicando il teorema di Bayes:

P(AD)=P(A)P(DA)P(D)

P(AD)=0.030.042=0.715

Quindi, se una lampadina è difettosa, la probabilità che provenga dalla linea di produzione A è del 71.5%.


Formula

Il teorema di Bayes si riassume con la seguente formula:
P(AiB)=

=P(Ai)P(BAi)j=1nP(Aj)P(BAj)

In questa formula compaiono:

  1. Probabilità a priori: non dipendono dal risultato empirico dell’evento B. Nella formula rappresentano:
    P(Ai)
  2. Verosimiglianze: rappresentano le probabilità con cui le singole cause Ai generano l’evento B. Nella formula sono:

P(BAi)

  1. Probabilità a posteriori: sapendo che l’evento B si è verificato, esse dicono con quale probabilità la causa i-esima ha agito nel determinare B. Nella formula sono:
    P(AiB)


Spiegazione

In parole semplici è possibile spiegare il teorema nel seguente modo: se A è una possibile causa dell’evento B, una volta che B si sia verificato, il teorema di Bayes ci permette di calcolare la probabilità che esso sia stato generato da A.

SOS Matematica

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