Enunciato del Teorema di Bayes
Il teorema di Bayes consente di calcolare la probabilità che, essendosi verificato un dato evento $\mathrm{B}$, abbia agito la causa Ai in un gruppo di $\mathrm{n}$ cause
$$
A_1, A_2, \ldots, A_n
$$
che sono incompatibili ed esaustive.
Esempi svolti
Un’azienda che produce lampadine ha due linee di produzione: la linea A fornisce il $60 \%$ della produzione giornaliera e il $5 \%$ dei suoi prodotti è difettoso (D);
La linea B produce il restante $40 \%$, con il $3 \%$ di pezzi difettosi (D).
Se un pezzo è difettoso, qual è la probabilità che venga dalla linea B?
Svolgimento
La prima cosa da fare è quella di determinare la probabilità che la lampadina sia difettosa, per entrambe le linee di produzione. Quindi, per la linea di produzione A abbiamo:
$$
\begin{gathered}
P(A) \cdot P(D \mid A)=0.6 \cdot 0.05 \
=0.03
\end{gathered}
$$
Per la linea di produzione B abbiamo:
$$
\begin{gathered}
P(B) \cdot P(D \mid B)=0.4 \cdot 0.03 \
=0.012
\end{gathered}
$$
La probabilità totale delle lampadine difettose sono:
$$
P(D)=0.03+0.012=0.042
$$
Ora determiniamo la probabilità $\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid \mathrm{D})$ applicando il teorema di Bayes:
$$
P(A \mid D) =\frac{P(A) \cdot P(D \mid A)}{P(D)} $$
$$P(A \mid D) =\frac{0.03}{0.042}=0.715
$$
Quindi, se una lampadina è difettosa, la probabilità che provenga dalla linea di produzione A è del $71.5 \%$.
Formula
Il teorema di Bayes si riassume con la seguente formula:
$$ P\left(A_i \mid B\right) =$$
$$=\frac{P\left(A_i\right) \cdot P\left(B \mid A_i\right)}{\sum_{j=1}^n P\left(A_j\right) \cdot P\left(B \mid A_j\right)}
$$
In questa formula compaiono:
- Probabilità a priori: non dipendono dal risultato empirico dell’evento B. Nella formula rappresentano:
$$
P\left(A_i\right)
$$ - Verosimiglianze: rappresentano le probabilità con cui le singole cause Ai generano l’evento B. Nella formula sono:
$$
P\left(B \mid A_i\right)
$$
- Probabilità a posteriori: sapendo che l’evento $B$ si è verificato, esse dicono con quale probabilità la causa i-esima ha agito nel determinare B. Nella formula sono:
$$
P\left(A_i \mid B\right)
$$
Spiegazione
In parole semplici è possibile spiegare il teorema nel seguente modo: se A è una possibile causa dell’evento B, una volta che B si sia verificato, il teorema di Bayes ci permette di calcolare la probabilità che esso sia stato generato da A.