Enunciato del Teorema delle Proiezioni
In un triangolo qualsiasi $A B C$, la misura di un lato è pari alla somma dei prodotti tra ciascuno degli altri due lati ed il coseno dei rispettivi angoli compresi con il lato incognito.
Esempi svolti
Determinare il perimetro di un triangolo, sapendo che il lato b misura $20 \mathrm{~cm}$, il lato c misura $28 \mathrm{~cm}$. L’angolo $\gamma$ è $120^{\circ} \mathrm{e}$ I’angolo $\beta$ misura $40^{\circ}$.
Svolgimento
Attraverso l’utilizzo del teroema delle proiezioni possiamo determinare il terzo lato a. Utilizziamo la formula:
$$
a=b \cdot \cos \gamma+c \cdot \cos \beta
$$
Sostituendo i valori noti otteniamo:
$$
a=20\left(-\frac{1}{2}\right)+29(0,77)
$$
$$
a=-10+22,33 $$
$$a=12,33 \mathrm{~cm}
$$
A questo punto possiamo calcolare facilemente il perimetro del triangolo:
$$
P=20+29+12,33 $$
$$P=61,33 \mathrm{~cm}
$$
Spiegazione del Teorema
La tesi del teorema è deducibile dalla figura.
Si nota, infatti, che il lato a è la somma delle proiezioni su di esso dei lati $\mathbf{c}$ e $\mathbf{b}$.
Poichè i triangoli $A B H$ e $A C H$ sono per costruzione rettangoli, dai teroemi sui triangoli rettangoli, si deduce che ciascuna proiezione si ottiene moltiplicando un lato per il coseno dell’angolo che forma con il lato a.
In formule avremo che il lato a è:
$$
a=b \cdot \cos \gamma+c \cdot \cos \beta
$$
Estendiamo il teorema agli altri lati del triangolo:
$$
b=a \cdot \cos \gamma+c \cdot \cos \alpha $$
$$c=a \cdot \cos \beta+b \cdot \cos \alpha
$$