Enunciato del Teorema della Probabilità Composta
La probabilità del prodotto di due eventi è uguale al prodotto della probabilità di uno degli eventi per la probabilità condizionata dell’altro.
In formule:
$$
P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B \mid A)
$$
Esempi svolti
In una scatola ci sono 8 biglie rosse e 4 biglie blu. Determinare la probabilità che, estraendo contemporaneamente due biglie, esse siano entrambe rosse.
Svolgimento
Possiamo estrarre prima una biglia e poi, senza reinserire la prima nella scatola, una seconda biglia.
La probabilità che la prima biglia sia rossa è:
$$
P\left(A_1\right)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}
$$
La probabilità che la seconda biglia sia rossa, condizionata dal fatto che la prima estratta sia rossa si ottiene pensando a una scatola che contiene 7 biglie rosse e 4 biglie blu.
In formule:
$$
P\left(A_2 \mid A_1\right)=\frac{7}{11}
$$
La probabilità che entrambe le biglie siano rosse è:
$$
P(A)=P\left(A_1\right) \cdot P\left(A_2 \mid A_1\right) $$
$$P(A)=\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{11}=\frac{14}{33}
$$
Proprietà
Questo teorema è valido soltanto per eventi dipendenti.