Teorema della Probabilità Composta

Enunciato del Teorema della Probabilità Composta

La probabilità del prodotto di due eventi è uguale al prodotto della probabilità di uno degli eventi per la probabilità condizionata dell’altro.

In formule:

$$
P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B \mid A)
$$


Esempi svolti

In una scatola ci sono 8 biglie rosse e 4 biglie blu. Determinare la probabilità che, estraendo contemporaneamente due biglie, esse siano entrambe rosse.

Svolgimento

Possiamo estrarre prima una biglia e poi, senza reinserire la prima nella scatola, una seconda biglia.

La probabilità che la prima biglia sia rossa è:
$$
P\left(A_1\right)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}
$$

La probabilità che la seconda biglia sia rossa, condizionata dal fatto che la prima estratta sia rossa si ottiene pensando a una scatola che contiene 7 biglie rosse e 4 biglie blu.

In formule:

$$
P\left(A_2 \mid A_1\right)=\frac{7}{11}
$$

La probabilità che entrambe le biglie siano rosse è:

$$
P(A)=P\left(A_1\right) \cdot P\left(A_2 \mid A_1\right) $$

$$P(A)=\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{11}=\frac{14}{33}
$$


Proprietà

Questo teorema è valido soltanto per eventi dipendenti.

SOS Matematica

4.6
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