Enunciato del Teorema della Corda
In una circonferenza la misura di una corda è uguale al prodotto della misura del diametro per il seno di uno degli angoli alla circonferenza che insistono sulla corda.
Esempi svolti
In una circonferenza di raggio $r$, la corda $A B$ misura $48 \mathrm{~cm}$ e gli angoli alla circonferenza che insistono su di essa hanno ampiezza $a=50^{\circ}$. Calcolare la misura del raggio.
Svolgimento
Dal teorema della corda possiamo ricavare la formula inversa. Quindi avremo:
$$
2 r=\frac{A B}{\sin \alpha}
$$
Sostituendo i dati del problema, otteniamo:
$$
2 r=\frac{48}{\sin 50^{\circ}} $$
$$2 r=\frac{48}{0,77}=62,33 \mathrm{~cm}
$$
Pertanto, il raggio, che è la metà del diametro sarà:
$$
r=\frac{62,33}{2} =31,16 \mathrm{~cm}
$$
Dimostrazione del Teorema
Prendiamo in considerazione un qualsiasi angolo $A C B$ alla circonferenza che insiste sulla corda $A B$ e sull’arco minore $A B$. $A$ questo punto tracciamo il diametro $B D$ e congiungiamo il vertice $\mathrm{A}$ con l’estremo D del diametro.
Dalla figura si può facilemente notare come il triangolo ABD sia rettangolo in A, poichè è inscritto in una semicirconferenza. Inoltre l’angolo ADB è congruente all’angolo $A C B$ dato che entrambi insistono sull’arco $A B$. Chiameremo questo angolo a.
Possiamo calcolare la misura della corda $A B$ applicando il primo teroema dei triangoli rettangoli al triangolo $A B D e$ abbiamo:
$$A B=2 r \cdot \sin \alpha$$