Teorema del Coseno

Enunciato del Teorema del Coseno

In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri lati meno il doppio prodotto degli altri due lati per il coseno dell’angolo fra essi compreso.


Esempi svolti

Determinare la misura del lato AB di un triangolo ABC di cui sono noti il lato AC che misura 10 cm, il lato BC che misura 15 cm e l’angolo γ che misura 60.

Svolgimento

Per risolvere il problema, applichiamo il teorema del coseno e quindi avremo:

AB2=AC2+BC2+ 2ACBCcosγ

Sostituiamo i valori del problema e abbiamo che:

AB2=100+2252150 12

Svolgendo tutti i calcoli otteniamo la misura di AB :

AB2=175

AB=175

AB=57


Dimostrazione del Teorema

Il Teorema del Coseno può essere espresso in formule nel seguente modo:

a2=b2+c22bccosα

b2=a2+c22accosβ

c2=a2+b22abcosγ

Prendiamo in considerazione il triangolo ABC in figura.

Consideriamo l’altezza BH relativa al lato b.

Il triangolo ABH è rettangolo per costruzione, perciò, per i teoremi relativi ai triangoli rettangoli, possiamo scrivere:

h=csinα

b1=ccosα

Dunque otteniamo:

b2=bb1

b2=bccosα

Utilizzando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo BHC otteniamo:

a2=h2+b22

Sostituendo in quest’ultima uguaglianza le relazioni sopra ottenute avremo che:

a2=c2sin2α +(bccosα)2

Svolgendo tutti i calcoli otteniamo:
a2=c2sin2α+b22bccosα+c2cos2α

E ancora:
a2=b2+c2(sin2α+cos2α)2bccosα

Utilizzando la prima identità fondamentale della goniometria

sin2α+cos2α=1

Otteniamo che:

a2=b2+c22bccosα

SOS Matematica

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