Enunciato del Teorema del Coseno
In un triangolo il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri lati meno il doppio prodotto degli altri due lati per il coseno dell’angolo fra essi compreso.
Esempi svolti
Determinare la misura del lato $A B$ di un triangolo $A B C$ di cui sono noti il lato $A C$ che misura $10 \mathrm{~cm}$, il lato $B C$ che misura 15 $\mathrm{cm}$ e l’angolo $\mathrm{\gamma}$ che misura $60^{\circ}$.
Svolgimento
Per risolvere il problema, applichiamo il teorema del coseno e quindi avremo:
$$
A B^2=A C^2+B C^2+ \
-2 \cdot A C \cdot B C \cdot \cos \gamma
$$
Sostituiamo i valori del problema e abbiamo che:
$$
\begin{gathered}
A B^2=100+225-2 \cdot 150 \
\cdot \frac{1}{2}
\end{gathered}
$$
Svolgendo tutti i calcoli otteniamo la misura di $A B$ :
$$
A B^2=175 $$
$$A B=\sqrt{175} $$
$$A B=5 \sqrt{7}
$$
Dimostrazione del Teorema
Il Teorema del Coseno può essere espresso in formule nel seguente modo:
$$
a^2=b^2+c^2-2 b c \cdot \cos \alpha $$
$$ b^2=a^2+c^2-2 a c \cdot \cos \beta $$
$$c^2=a^2+b^2-2 a b \cdot \cos \gamma
$$
Prendiamo in considerazione il triangolo $A B C$ in figura.
Consideriamo l’altezza $BH$ relativa al lato $b$.
Il triangolo $A B H$ è rettangolo per costruzione, perciò, per i teoremi relativi ai triangoli rettangoli, possiamo scrivere:
$$
h =c \cdot \sin \alpha $$
$$b_1 =c \cdot \cos \alpha
$$
Dunque otteniamo:
$$
b_2=b-b_1 $$
$$b_2=b-c \cdot \cos \alpha
$$
Utilizzando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo $\mathrm{BHC}$ otteniamo:
$$
a^2=h^2+b_2^2
$$
Sostituendo in quest’ultima uguaglianza le relazioni sopra ottenute avremo che:
$$
\begin{gathered}
a^2=c^2 \cdot \sin ^2 \alpha \
+(b-c \cdot \cos \alpha)^2
\end{gathered}
$$
Svolgendo tutti i calcoli otteniamo:
$$
\begin{array}{r}
a^2=c^2 \cdot \sin ^2 \alpha+b^2-2 b c \cdot \cos \alpha+c^2 \cdot \cos ^2 \alpha
\end{array}
$$
E ancora:
$$
\begin{array}{r}
a^2=b^2+c^2\left(\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha\right) -2 b c \cdot \cos \alpha
\end{array}
$$
Utilizzando la prima identità fondamentale della goniometria
$$
\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha=1
$$
Otteniamo che:
$$
a^2=b^2+c^2-2 b c \cdot \cos \alpha
$$