Teorema dei Seni

Enunciato del Teorema dei Seni

In un triangolo qualsiasi il rapporto tra un lato ed il seno dell’angolo opposto è costante ed è uguale al diametro $2r$ della circonferenza circoscritta al triangolo.

Esempi svolti

Calcolare la misura del lato $AB$ del triangolo $ABC$ sapendo che $\alpha ={30}^{\circ },\beta =$ ${105}^{\circ }$ e che la misura del lato $BC$ è $12\mathrm{cm}$.

Svolgimento

Per applicare il teorema dei seni, occorre determinare l’ampiezza dell’angolo $\gamma$.
Sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è ${180}^{\circ }$, quindi I’angolo $\gamma$ si calcola in questo modo:

$$\gamma ={180}^{\circ }-({30}^{\circ }+{105}^{\circ })$$

$$\gamma ={45}^{\circ }$$

Applichiamo la relazione

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma }$$

Sostituiamo i valori del problema:

$$\frac{12}{\sin {30}^{\circ }}=\frac{c}{\sin {45}^{\circ }}$$

$$\frac{12}{\frac{1}{2}}=\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

Il lato c sarà:

$$c=\frac{12\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$$

$$c=6\sqrt{2}\cdot 2$$

$$c=12\sqrt{2}\mathrm{cm}$$

Spiegazione del Teorema

॥ Teorema dei Seni può essere espresso in formule nel seguente modo:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$$

Considerando l’altezza $\mathbf{h}$ mostrata in figura, si può vedere che il triangolo viene diviso in due triangoli rettangoli $\mathrm{ACH}$ e $\mathrm{BCH}$, entrambi retti in $\mathrm{H}$.

L’altezza $h$ può essere calcolata utilizzando il primo teorema dei triangoli rettangoli, quindi avremo che nel triangolo rettangolo a sinistra, l’altezza $\mathbf{h}$ è:

$$h=b\cdot \sin \alpha$$

Mentre per il triangolo rettangolo a destra, l’altezza h è uguale a:

$$h=a\cdot \sin \beta$$

Uguagliando le due espressioni otteniamo:

$$b\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \beta$$
da cui deriva la tesi del teorema.