Teorema dei Seni

Enunciato del Teorema dei Seni

In un triangolo qualsiasi il rapporto tra un lato ed il seno dell’angolo opposto è costante ed è uguale al diametro 2r della circonferenza circoscritta al triangolo.


Esempi svolti

Calcolare la misura del lato AB del triangolo ABC sapendo che α=30,β= 105 e che la misura del lato BC è 12 cm.

Svolgimento

Per applicare il teorema dei seni, occorre determinare l’ampiezza dell’angolo γ.
Sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180, quindi I’angolo γ si calcola in questo modo:

γ=180(30+105)

γ=45

Applichiamo la relazione

asinα=csinγ

Sostituiamo i valori del problema:

12sin30=csin45

1212=c22

Il lato c sarà:

c=122212

c=622

c=122 cm


Spiegazione del Teorema

॥ Teorema dei Seni può essere espresso in formule nel seguente modo:

asinα=bsinβ=csinγ

Considerando l’altezza h mostrata in figura, si può vedere che il triangolo viene diviso in due triangoli rettangoli ACH e BCH, entrambi retti in H.

L’altezza h può essere calcolata utilizzando il primo teorema dei triangoli rettangoli, quindi avremo che nel triangolo rettangolo a sinistra, l’altezza h è:

h=bsinα

Mentre per il triangolo rettangolo a destra, l’altezza h è uguale a:

h=asinβ

Uguagliando le due espressioni otteniamo:

bsinα=asinβ
da cui deriva la tesi del teorema.

SOS Matematica

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