Teorema dei Seni

Enunciato del Teorema dei Seni

In un triangolo qualsiasi il rapporto tra un lato ed il seno dell’angolo opposto è costante ed è uguale al diametro $2 r$ della circonferenza circoscritta al triangolo.


Esempi svolti

Calcolare la misura del lato $A B$ del triangolo $A B C$ sapendo che $\alpha=30^{\circ}, \beta=$ $105^{\circ}$ e che la misura del lato $B C$ è $12 \mathrm{~cm}$.

Svolgimento

Per applicare il teorema dei seni, occorre determinare l’ampiezza dell’angolo $\gamma$.
Sappiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è $180^{\circ}$, quindi I’angolo $\gamma$ si calcola in questo modo:

$$
\gamma=180^{\circ}-\left(30^{\circ}+105^{\circ}\right) $$

$$\gamma=45^{\circ}
$$

Applichiamo la relazione

$$
\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{c}{\sin \gamma}
$$

Sostituiamo i valori del problema:

$$
\frac{12}{\sin 30^{\circ}}=\frac{c}{\sin 45^{\circ}} $$

$$\frac{12}{\frac{1}{2}}=\frac{c}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
$$

Il lato c sarà:

$$
c=\frac{12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} $$

$$c=6 \sqrt{2} \cdot 2 $$

$$c=12 \sqrt{2} \mathrm{~cm}
$$


Spiegazione del Teorema

॥ Teorema dei Seni può essere espresso in formule nel seguente modo:

$$
\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}
$$

Considerando l’altezza $\mathbf{h}$ mostrata in figura, si può vedere che il triangolo viene diviso in due triangoli rettangoli $\mathrm{ACH}$ e $\mathrm{BCH}$, entrambi retti in $\mathrm{H}$.

L’altezza $h$ può essere calcolata utilizzando il primo teorema dei triangoli rettangoli, quindi avremo che nel triangolo rettangolo a sinistra, l’altezza $\mathbf{h}$ è:

$$
h=b \cdot \sin \alpha
$$

Mentre per il triangolo rettangolo a destra, l’altezza h è uguale a:

$$
h=a \cdot \sin \beta
$$

Uguagliando le due espressioni otteniamo:

$$
b \cdot \sin \alpha=a \cdot \sin \beta
$$
da cui deriva la tesi del teorema.

SOS Matematica

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