Definizione di Sistema Lineare
Un sistema di equazioni è un insieme di più equazioni che devono essere contemporaneamente verificate. Esso può avere una o più incognite.
Esempi svolti
Esempio 1
Risolvere il sistema lineare:
$$\begin{equation}
\begin{cases}
x+y=2\\-x+2 y=-17
\end{cases}
\end{equation}$$
Svolgimento
In questo caso si usa il metodo di sostituzione.
$$\begin{equation}
\begin{cases}
y=2-x \\-x+2(2-x)=-17
\end{cases}
\end{equation}$$
$$\begin{equation}
\begin{cases}
y=2-x \\-3 x=-21
\end{cases}
\end{equation}$$
$$\begin{equation}
\begin{cases}
y=2-x \\x=7
\end{cases}
\end{equation}$$
$$\begin{equation}
\begin{cases}
y=-5 \\x=7
\end{cases}
\end{equation}$$
Esempio 2
Risolvere il seguente sistema lineare:
$$\begin{equation}
\begin{cases}
3 x-4 y=6 \\3 x-y=3
\end{cases}
\end{equation}$$
Svolgimento
In questo caso si usa il metodo del confronto.
$$\begin{equation}
\begin{cases}
3 x-4 y=6 \\3 x=y+3
\end{cases}
\end{equation}$$
$$\begin{equation}
\begin{cases}
6+4 y=y+3 \\3 x=y+3
\end{cases}
\end{equation}$$
$$\begin{equation}
\begin{cases}
3 y=-3 \\3 x=y+3
\end{cases}
\end{equation}$$
$$\begin{equation}
\begin{cases}
y=-1 \\x=\frac{y+3}{3}
\end{cases}
\end{equation}$$
$$\begin{equation}
\begin{cases}
y=-1 \\x=\frac{2}{3}
\end{cases}
\end{equation}$$
Per indicare un sistema, si scrivono le equazioni in colonna, racchiuse da una parentesi graffa:
$$\begin{equation}
\begin{cases}
a x+b y=c \\ a_1 x+b_1 y=c_1
\end{cases}
\end{equation}$$
Grado di un Sistema
Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle singole equazioni.
Metodo di Sostituzione
1) Risolvere una delle due equazioni rispetto ad una incognita;
2) Sostituire l’espressione ottenuta nell’altra equazione;
3) Risolvere l’equazione in una incognita così ottenuta;
4) Sostituire nell’altra equazione il valore così trovato e calcolare quello dell’incognita rimanente.
Metodo del Confronto
1) Risolvere (esplicitare) entrambe le equazioni rispetto alla stessa incognita;
2) Risolvere l’equazione ad una sola incognita ottenuta confrontando $i$ secondi membri delle equazioni ricavate al punto 1;
3) Sostituire il valore così trovato in una qualunque delle equazioni trovate al punto 1, calcolando così il valore dell’incognita rimanente.
Sistema Determinato
Un sistema si dice determinato quando ha un numero finito di soluzioni.
Considerato un generico sistema lineare scritto in forma normale
$$\begin{equation}
\begin{cases}
a x+b y=c \\ a_1 x+b_1 y=c_1
\end{cases}
\end{equation}$$
questo risulta essere determinato quando il rapporto tra i coefficienti di $x$ è diverso dal rapporto fra i coefficienti di y.
Cioè:
$$
\frac{a}{a_1} \neq \frac{b}{b_1}
$$
Sistema Impossibile
Un sistema si dice impossibile quando non ha alcuna soluzione.
Considerato un generico sistema lineare scritto in forma normale
$$\begin{equation}
\begin{cases}
a x+b y=c \\ a_1 x+b_1 y=c_1
\end{cases}
\end{equation}$$
questo risulta essere impossibile quando il rapporto tra i coefficienti di $x$ è uguale al rapporto fra i coefficienti di y e tale rapporto è diverso dal rapporto fra i termini noti.
Cioè:
$$
\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1} \neq \frac{c}{c_1}
$$
Sistema Indeterminato
Un sistema si dice indeterminato quando ha infinite soluzioni.
Considerato un generico sistema lineare scritto in forma normale
$$\begin{equation}
\begin{cases}
a x+b y=c \\ a_1 x+b_1 y=c_1
\end{cases}
\end{equation}$$
questo risulta essere indeterminato quando il rapporto tra i coefficienti di $x$ è uguale al rapporto fra i coefficienti di y e al rapporto fra i termini noti.
Cioè:
$$
\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}
$$
Principio di Equivalenza
Due sistemi sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.
Principio di Sostituzione
Se in un sistema sostituiamo ad una incognita la sua espressione ottenuta da un’altra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.
Principio di Riduzione
Se in un sistema si sommano membro a membro le sue equazioni (alcune o tutte) e si sostituisce ad una di esse l’equazione ottenuta, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.