Risoluzione Triangolo Qualsiasi

Definizione di Risoluzione dei Triangoli Qualsiasi

Risolvere un triangolo significa trovare le misure dei tre lati e l’ampiezza dei tre angoli. La trigonometria è uno strumento utile per la determinazione dei tre elementi incogniti, dati tre elementi noti, di cui almeno un lato.


Esempi svolti

Due lati di un triangolo misurano a=12 metri e b=9 metri. L’angolo β misura 30.
Determinare il seno dell’angolo a.

Svolgimento

Per determinare il seno dell’angolo a utilizziamo la formula:

sinα=absinβ

Sostituendo i valori noti otteniamo:

sinα=129sin30

Il seno di 30 è 0.5 , quindi sostituendo tale valore nella formula precedente abbiamo:

sinα=12912

sinα=23


Noti due angoli e un lato

Sapendo i valori degli angoli a e β e il valore del lato c, si vogliono determinare l’angolo γ e i lati a e b.

L”angolo γ è facilmente determinabile:

γ=180(α+β)

Il lato a può essere calcolato applicando il teorema dei seni:

a=csinαsinγ

Allo stesso modo è possibile determinare il valore del lato b :

b=csinβsinγ

Noti due lati e l’angolo fra essi compreso

Conoscendo i valori dei lati b e c e dell’angolo a, si vogliono determinare gli angoli β e γ e il lato a.

La misura del lato a si può determinare applicando il teorema del coseno:

a=b2+c22bccosα

L’angolo β può essere calcolato utilizzando nuovamente il teorema del coseno:

cosβ=a2+c2b22ac

Si utilizza la funzione arcocoseno per determinare l’angolo β.
Infine calcoliamo l’angolo γ :

γ=180(α+β)

Noti due lati e un angolo apposto a uno di essi

Conoscendo i lati a e b e l’angolo a, si vogliono determinare gli angoli β e γ e il lato c.

Per determinare l’angolo β è possibile utilizzare il teorema dei seni:

sinβ=basinα

E’ importante notare che il valore del seno di β deve essere necessariamente minore o uguale di 1 .
L’angolo γ può essere ottenuto nel seguente modo:

γ=180(α+β)

Mentre il lato c viene calcolato grazie all’applicazione del teorema dei seni:

c=asinγsinα

Noti tre lati

Dii un triangolo si conoscono tutti e tre i lati a, b e c. Si vogliono determinare gli angoli a,β e γ.

L’angolo a può essere determinando utilizzano il teorema del coseno:

cosα=b2+c2a22bc

Il valore dell’angolo a si trova con la funzione arcocoseno.

L’angolo β si ricava allo stesso modo:

cosβ=a2+c2b22ac

Anche in questo caso β si ricava con la funzione arcocoseno.

Infine, l’angolo γ può essere ottenuto utilizzando la formula:

γ=180(α+β)

SOS Matematica

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