Definizione di Risoluzione dei Triangoli Qualsiasi
Risolvere un triangolo significa trovare le misure dei tre lati e l’ampiezza dei tre angoli. La trigonometria è uno strumento utile per la determinazione dei tre elementi incogniti, dati tre elementi noti, di cui almeno un lato.
Esempi svolti
Due lati di un triangolo misurano $\mathrm{a}=12$ metri e $b=9$ metri. L’angolo $\beta$ misura $30^{\circ}$.
Determinare il seno dell’angolo $a$.
Svolgimento
Per determinare il seno dell’angolo a utilizziamo la formula:
$$
\sin \alpha=\frac{a}{b} \cdot \sin \beta
$$
Sostituendo i valori noti otteniamo:
$$
\sin \alpha=\frac{12}{9} \cdot \sin 30^{\circ}
$$
Il seno di $30^{\circ}$ è 0.5 , quindi sostituendo tale valore nella formula precedente abbiamo:
$$
\sin \alpha=\frac{12}{9} \cdot \frac{1}{2} $$
$$\sin \alpha=\frac{2}{3}
$$
Noti due angoli e un lato
Sapendo i valori degli angoli a e $\beta$ e il valore del lato c, si vogliono determinare l’angolo $\gamma$ e i lati a e b.
L”angolo $\gamma$ è facilmente determinabile:
$$
\gamma=180^{\circ}-(\alpha+\beta)
$$
Il lato a può essere calcolato applicando il teorema dei seni:
$$
a=\frac{c \cdot \sin \alpha}{\sin \gamma}
$$
Allo stesso modo è possibile determinare il valore del lato $b$ :
$$
b=\frac{c \cdot \sin \beta}{\sin \gamma}
$$
Noti due lati e l’angolo fra essi compreso
Conoscendo i valori dei lati b e c e dell’angolo a, si vogliono determinare gli angoli $\beta$ e $\gamma$ e il lato a.
La misura del lato a si può determinare applicando il teorema del coseno:
$$
a=\sqrt{b^2+c^2-2 b c \cdot \cos \alpha}
$$
L’angolo $\beta$ può essere calcolato utilizzando nuovamente il teorema del coseno:
$$
\cos \beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2 a c}
$$
Si utilizza la funzione arcocoseno per determinare l’angolo $\beta$.
Infine calcoliamo l’angolo $\gamma$ :
$$
\gamma=180^{\circ}-(\alpha+\beta)
$$
Noti due lati e un angolo apposto a uno di essi
Conoscendo i lati a e b e l’angolo a, si vogliono determinare gli angoli $\beta$ e $\gamma$ e il lato $\mathrm{c}$.
Per determinare l’angolo $\beta$ è possibile utilizzare il teorema dei seni:
$$
\sin \beta=\frac{b}{a} \cdot \sin \alpha
$$
E’ importante notare che il valore del seno di $\beta$ deve essere necessariamente minore o uguale di 1 .
L’angolo $\gamma$ può essere ottenuto nel seguente modo:
$$
\gamma=180^{\circ}-(\alpha+\beta)
$$
Mentre il lato c viene calcolato grazie all’applicazione del teorema dei seni:
$$
c=a \cdot \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}
$$
Noti tre lati
Dii un triangolo si conoscono tutti e tre i lati a, b e c. Si vogliono determinare gli angoli $a, \beta$ e $\gamma$.
L’angolo a può essere determinando utilizzano il teorema del coseno:
$$
\cos \alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}
$$
Il valore dell’angolo a si trova con la funzione arcocoseno.
L’angolo $\beta$ si ricava allo stesso modo:
$$
\cos \beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2 a c}
$$
Anche in questo caso $\beta$ si ricava con la funzione arcocoseno.
Infine, l’angolo $\gamma$ può essere ottenuto utilizzando la formula:
$$
\gamma=180^{\circ}-(\alpha+\beta)
$$