Risoluzione Triangoli Rettangoli

Definizione di Risoluzione dei Triangoli Rettangoli

Risolvere un triangolo rettangolo significa trovare le misure dei tre lati e l’ampiezza dei tre angoli. La trigonometria è uno strumento utile per la determinazione dei tre elementi incogniti, dati due elementi noti, di cui almeno un lato e sicuramente l’angolo retto di 90.



Esempi svolti

Calcolare l’area e il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa è lunga 40 cm e che il seno dell’angolo acuto β è 1/4.

Svolgimento

Utilizzando la relazione
b=asinβ
si ha che

b=40 cm14

b=10 cm

Il cateto c si può calcolare applicando il teorema di Pitagora:

c=402102

c=1600100=1500

c=1015cm

Il perimetro P del triangolo è quindi uguale a:

P=40+10+1015

P=50+1015cm

Mentre l’area è:
A=1010152

A=5015 cm2


Primo Teorema dei Triangoli Rettangoli

In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto al cateto o per il coseno dell’angolo acuto adiacente al cateto.

b=asinβ

b=acosγ


Secondo Teorema dei Triangoli Rettangoli

In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto moltiplicata per la tangente dell’angolo opposto al primo cateto o per la cotangente dell’angolo acuto adiacente al primo cateto.

b=ctanβ

b=ccotanγ


Risoluzione dei Triangoli Rettangoli

Esistono 4 differenti casi in cui è possibile determinare gli elementi incogniti di un triangolo rettangolo. Due casi in cui sono noti due lati e due casi in cui sono noti un lato e un angolo.

Noti due cateti

Conoscendo i due cateti b e c, si vogliono determinare le misure degli angoli β e γ e dell’ipotenusa a.

La misura dell’angolo β è data dalla seguente formula:
tanβ=bcβ=arctanbc

L’angolo γ è uguale a:

γ=90β

Mentre l’ipotenusa si calcolerà mediante il teorema di Pitagora:
a=b2+c2

Noti un cateto e l’ipotenusa

Sapendo le misure del cateto b e dell’ipotenusa a, si vogliono determinare le misure degli angoli β e γ e del cateto c.

La misura dell’angolo β si trova facilemente dalla seguente formula:
sinβ=baβ=arcsinba

L’angolo γ può essere calcolato in questo modo:
γ=90β

Infine il cateto c è uguale a:
c=a2b2

Noti un cateto e un angolo acuto

Conoscendo il cateto b e l’angolo β, si vogliono determinare le misure dell’angolo γ, del cateto c e dell’ipotenusa a.

L’angolo γ sarà:
γ=90β

II cate ce sarà:
c=btanγ

Mentre l’ipotenusa a sarà pari a:
a=b2+c2

Noti l’ipotenusa e un angolo acuto

Sapendo le misure dell’ipotenusa a e dell’angolo β, si vogliono determinare l’angolo γ, i cateti b e c.

L’angolo γ risulterà essere:
γ=90β

Il cateto b sarà pari a:
b=asinβ

Infine il cateto c è:
c=asinγ

SOS Matematica

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