Risoluzione Triangoli Rettangoli

Definizione di Risoluzione dei Triangoli Rettangoli

Risolvere un triangolo rettangolo significa trovare le misure dei tre lati e l’ampiezza dei tre angoli. La trigonometria รจ uno strumento utile per la determinazione dei tre elementi incogniti, dati due elementi noti, di cui almeno un lato e sicuramente l’angolo retto di $90^{\circ}$.



Esempi svolti

Calcolare l’area e il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa รจ lunga $40 \mathrm{~cm}$ e che il seno dell’angolo acuto $\beta$ รจ $1 / 4$.

Svolgimento

Utilizzando la relazione
$$
b=a \cdot \sin \beta
$$
si ha che

$$
b=40 \mathrm{~cm} \cdot \frac{1}{4} $$

$$b=10 \mathrm{~cm}
$$

Il cateto c si puรฒ calcolare applicando il teorema di Pitagora:

$$c=\sqrt{40^ 2-10^ 2}$$

$$c= \sqrt{1600-100}=\sqrt{1500}$$

$$c=10 \sqrt{15} cm$$

Il perimetro $\mathrm{P}$ del triangolo รจ quindi uguale a:

$$
P=40+10+10 \sqrt{15} $$

$$P=50+10 \sqrt{15} cm
$$

Mentre l’area รจ:
$$
A=\frac{10 \cdot 10 \sqrt{15}}{2}
$$

$$
A=50 \sqrt{15} \mathrm{~cm}^2
$$


Primo Teorema dei Triangoli Rettangoli

In un triangolo rettangolo la misura di un cateto รจ uguale a quella dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto al cateto o per il coseno dell’angolo acuto adiacente al cateto.

$$
b=a \cdot \sin \beta $$

$$ b=a \cdot \cos \gamma
$$


Secondo Teorema dei Triangoli Rettangoli

In un triangolo rettangolo la misura di un cateto รจ uguale a quella dell’altro cateto moltiplicata per la tangente dell’angolo opposto al primo cateto o per la cotangente dell’angolo acuto adiacente al primo cateto.

$$
b=c \cdot \tan \beta $$

$$b=c \cdot \operatorname{cotan} \gamma
$$


Risoluzione dei Triangoli Rettangoli

Esistono 4 differenti casi in cui รจ possibile determinare gli elementi incogniti di un triangolo rettangolo. Due casi in cui sono noti due lati e due casi in cui sono noti un lato e un angolo.

Noti due cateti

Conoscendo i due cateti b e c, si vogliono determinare le misure degli angoli $\beta$ e $\gamma$ e dell’ipotenusa a.

La misura dell’angolo $\beta$ รจ data dalla seguente formula:
$$
\tan \beta=\frac{b}{c} \rightarrow \beta=\arctan \frac{b}{c}
$$

L’angolo $\gamma$ รจ uguale a:

$$
\gamma=90^{\circ}-\beta
$$

Mentre l’ipotenusa si calcolerร  mediante il teorema di Pitagora:
$$
a=\sqrt{b^2+c^2}
$$

Noti un cateto e l’ipotenusa

Sapendo le misure del cateto $b$ e dell’ipotenusa a, si vogliono determinare le misure degli angoli $\beta$ e $\gamma$ e del cateto $c$.

La misura dell’angolo $\beta$ si trova facilemente dalla seguente formula:
$$
\sin \beta=\frac{b}{a} \rightarrow \beta=\arcsin \frac{b}{a}
$$

L’angolo $\gamma$ puรฒ essere calcolato in questo modo:
$$
\gamma=90^{\circ}-\beta
$$

Infine il cateto c รจ uguale a:
$$
c=\sqrt{a^2-b^2}
$$

Noti un cateto e un angolo acuto

Conoscendo il cateto $\mathbf{b}$ e l’angolo $\beta$, si vogliono determinare le misure dell’angolo $\gamma$, del cateto $\mathrm{c}$ e dell’ipotenusa a.

L’angolo $\gamma$ sarร :
$$
\gamma=90^{\circ}-\beta
$$

II cate ce sarร :
$$
c=b \cdot \tan \gamma
$$

Mentre l’ipotenusa a sarร  pari a:
$$
a=\sqrt{b^2+c^2}
$$

Noti l’ipotenusa e un angolo acuto

Sapendo le misure dell’ipotenusa a e dell’angolo $\beta$, si vogliono determinare l’angolo $\gamma$, i cateti b e c.

L’angolo $\gamma$ risulterร  essere:
$$
\gamma=90^{\circ}-\beta
$$

Il cateto b sarร  pari a:
$$
b=a \cdot \sin \beta
$$

Infine il cateto c รจ:
$$
c=a \cdot \sin \gamma
$$

SOS Matematica

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