Definizione di Risoluzione dei Triangoli Rettangoli
Risolvere un triangolo rettangolo significa trovare le misure dei tre lati e l’ampiezza dei tre angoli. La trigonometria è uno strumento utile per la determinazione dei tre elementi incogniti, dati due elementi noti, di cui almeno un lato e sicuramente l’angolo retto di $90^{\circ}$.
Esempi svolti
Calcolare l’area e il perimetro di un triangolo rettangolo, sapendo che l’ipotenusa è lunga $40 \mathrm{~cm}$ e che il seno dell’angolo acuto $\beta$ è $1 / 4$.
Svolgimento
Utilizzando la relazione
$$
b=a \cdot \sin \beta
$$
si ha che
$$
b=40 \mathrm{~cm} \cdot \frac{1}{4} $$
$$b=10 \mathrm{~cm}
$$
Il cateto c si può calcolare applicando il teorema di Pitagora:
$$c=\sqrt{40^ 2-10^ 2}$$
$$c= \sqrt{1600-100}=\sqrt{1500}$$
$$c=10 \sqrt{15} cm$$
Il perimetro $\mathrm{P}$ del triangolo è quindi uguale a:
$$
P=40+10+10 \sqrt{15} $$
$$P=50+10 \sqrt{15} cm
$$
Mentre l’area è:
$$
A=\frac{10 \cdot 10 \sqrt{15}}{2}
$$
$$
A=50 \sqrt{15} \mathrm{~cm}^2
$$
Primo Teorema dei Triangoli Rettangoli
In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto al cateto o per il coseno dell’angolo acuto adiacente al cateto.
$$
b=a \cdot \sin \beta $$
$$ b=a \cdot \cos \gamma
$$
Secondo Teorema dei Triangoli Rettangoli
In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto moltiplicata per la tangente dell’angolo opposto al primo cateto o per la cotangente dell’angolo acuto adiacente al primo cateto.
$$
b=c \cdot \tan \beta $$
$$b=c \cdot \operatorname{cotan} \gamma
$$
Risoluzione dei Triangoli Rettangoli
Esistono 4 differenti casi in cui è possibile determinare gli elementi incogniti di un triangolo rettangolo. Due casi in cui sono noti due lati e due casi in cui sono noti un lato e un angolo.
Noti due cateti
Conoscendo i due cateti b e c, si vogliono determinare le misure degli angoli $\beta$ e $\gamma$ e dell’ipotenusa a.
La misura dell’angolo $\beta$ è data dalla seguente formula:
$$
\tan \beta=\frac{b}{c} \rightarrow \beta=\arctan \frac{b}{c}
$$
L’angolo $\gamma$ è uguale a:
$$
\gamma=90^{\circ}-\beta
$$
Mentre l’ipotenusa si calcolerà mediante il teorema di Pitagora:
$$
a=\sqrt{b^2+c^2}
$$
Noti un cateto e l’ipotenusa
Sapendo le misure del cateto $b$ e dell’ipotenusa a, si vogliono determinare le misure degli angoli $\beta$ e $\gamma$ e del cateto $c$.
La misura dell’angolo $\beta$ si trova facilemente dalla seguente formula:
$$
\sin \beta=\frac{b}{a} \rightarrow \beta=\arcsin \frac{b}{a}
$$
L’angolo $\gamma$ può essere calcolato in questo modo:
$$
\gamma=90^{\circ}-\beta
$$
Infine il cateto c è uguale a:
$$
c=\sqrt{a^2-b^2}
$$
Noti un cateto e un angolo acuto
Conoscendo il cateto $\mathbf{b}$ e l’angolo $\beta$, si vogliono determinare le misure dell’angolo $\gamma$, del cateto $\mathrm{c}$ e dell’ipotenusa a.
L’angolo $\gamma$ sarà:
$$
\gamma=90^{\circ}-\beta
$$
II cate ce sarà:
$$
c=b \cdot \tan \gamma
$$
Mentre l’ipotenusa a sarà pari a:
$$
a=\sqrt{b^2+c^2}
$$
Noti l’ipotenusa e un angolo acuto
Sapendo le misure dell’ipotenusa a e dell’angolo $\beta$, si vogliono determinare l’angolo $\gamma$, i cateti b e c.
L’angolo $\gamma$ risulterà essere:
$$
\gamma=90^{\circ}-\beta
$$
Il cateto b sarà pari a:
$$
b=a \cdot \sin \beta
$$
Infine il cateto c è:
$$
c=a \cdot \sin \gamma
$$