Regola di Cramer

Definizione di Regola di Cramer

La regola di Cramer è un teorema di algebra lineare utile per risolvere un sistema di equazioni lineari usando il determinante, nel caso in cui il sistema abbia esattamente una soluzione.


Esempi svolti

Risolviamo il sistema:

{2x1+x2+4x3=163x1+2x2+x3=10x1+3x2+3x3=16

Svolgimento

Consideriamo la matrice A dei coefficienti:

A=[214321133]

detA=26

si può applicare la regola di Cramer:

A1=[161410211633]

detA1=26

A2=[216431011163]

detA2=52

A3=[211632101316]

detA3=78

x1=2626=1

x2=5226=2

x3=7826=3


Proprietà

Se consideriamo il sistema

{ax+by=ca1x+b1y=c1

possiamo utilizzare il determinante D formato dai coefficienti delle incognite delle equazioni:

D=|aba1b1|

Allo stesso modo è possibile scrivere altri due determinanti.

1. Determinante D(x) :Nella prima colonna del determinante del sistema si sostituiscono i termini noti ai coefficienti di x. Quindi avremo:

Dx=|cbc1b1|

2. Determinante D(y) : Nella seconda colonna del determinante del sistema si sostituiscono i termini noti ai coefficienti di y. Quindi avremo:

Dx=|aca1c1|

A questo punto le soluzioni del nostro sistema saranno:

x=DxD

e

y=DyD

In particolare, avremo che:

  • Se il determinante del sistema D0, le soluzioni esistono e il sistema è determinato.
  • Se il determinante del sistema D=0,i casi sono due:

  1. Se D(x)=0 e D(y)=0, il sistema è indeterminato
  2. Se D(x)0 oppure D(y)0, il sistema è impossibile.

Conseguenze della Regola di Cramer

Si abbia un sistema lineare possibile di i equazioni in i incognite con matrice associata A.

La soluzione allora è uguale a:

xi=det(Ai)det(A)

dove A (i) è la matrice che si ottiene sostituendo la i-esima colonna con il vettore dei termini noti.

SOS Matematica

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