Regola di Cramer

Definizione di Regola di Cramer

La regola di Cramer è un teorema di algebra lineare utile per risolvere un sistema di equazioni lineari usando il determinante, nel caso in cui il sistema abbia esattamente una soluzione.

Esempi svolti

Risolviamo il sistema:

$$\begin{equation}
   \begin{cases}
   2 x_1+x_2+4 x_3=16\\ 3 x_1+2 x_2+x_3=10\\ x_1+3 x_2+3 x_3=16
   \end{cases}
\end{equation}$$

Svolgimento

Consideriamo la matrice A dei coefficienti:

$$A=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 3\end{bmatrix} $$

$$
\operatorname{det} A=26
$$

si può applicare la regola di Cramer:

$$A_1=\begin{bmatrix} 16 & 1 & 4 \\ 10 & 2 & 1 \\ 16 & 3 & 3\end{bmatrix} $$

$$
\operatorname{det} A_1=26
$$

$$A_2=\begin{bmatrix} 2 & 16 & 4 \\ 3 & 10 & 1 \\1 & 16 & 3\end{bmatrix} $$

$$
\operatorname{det} A_2=52
$$

$$A_3=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 16 \\ 3 & 2 & 10 \\1 & 3 & 16\end{bmatrix} $$

$$
\operatorname{det} A_3=78 $$

$$x_1=\frac{26}{26}=1 $$

$$x_2=\frac{52}{26}=2 $$

$$x_3=\frac{78}{26}=3$$

Proprietà

Se consideriamo il sistema

$$\begin{equation}
   \begin{cases}
   a x+b y=c \\a_1 x+b_1 y=c_1
   \end{cases}
\end{equation}$$

possiamo utilizzare il determinante $\mathbf{D}$ formato dai coefficienti delle incognite delle equazioni:

$$D=\begin{vmatrix} a & b \\ a_1 & b_1 \end{vmatrix}$$

Allo stesso modo è possibile scrivere altri due determinanti.

1. Determinante $D(x)$ :Nella prima colonna del determinante del sistema si sostituiscono i termini noti ai coefficienti di x. Quindi avremo:

$$D_x=\begin{vmatrix} c & b \\ c_1 & b_1 \end{vmatrix}$$

2. Determinante $D(y)$ : Nella seconda colonna del determinante del sistema si sostituiscono i termini noti ai coefficienti di y. Quindi avremo:

$$D_x=\begin{vmatrix} a & c \\ a_1 & c_1 \end{vmatrix}$$

A questo punto le soluzioni del nostro sistema saranno:

$$x=\frac{D_x}{D} $$

e

$$y=\frac{D_y}{D}$$

In particolare, avremo che:

• Se il determinante del sistema $D \neq 0$, le soluzioni esistono e il sistema è determinato.

• Se il determinante del sistema $D=0, i$ casi sono due:

1. Se $D(x)=0$ e $D(y)=0$, il sistema è indeterminato
2. Se $D(x) \neq 0$ oppure $D(y) \neq 0$, il sistema è impossibile.
   

Conseguenze della Regola di Cramer

Si abbia un sistema lineare possibile di $\mathrm{i}$ equazioni in i incognite con matrice associata A.

La soluzione allora è uguale a:

$$
x_i=\frac{\operatorname{det}\left(A_i\right)}{\operatorname{det}(A)}
$$

dove $A$ (i) è la matrice che si ottiene sostituendo la i-esima colonna con il vettore dei termini noti.