Definizione di Razionalizzazione
La razionalizzazione è un metodo che consente di semplificare frazioni in cui compaiono dei radicali al denominatore, riscrivendo il rapporto di frazioni eliminando tutti i radicali presenti al denominatore in modo tale da trasferirli al numeratore.
ESEMPI SVOLTI
Razionalizzare la frazione
$$
\frac{5+\sqrt{8}}{\sqrt{4}-\sqrt{2}}
$$
SVOLGIMENTO
Per razionalizzare la seguente frazione occorre ricordare che vale il seguente prodotto notevole:
$$
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)
$$
Moltiplichiamo sia il numeraotre che il denominatore per la stessa quanità
$$
\sqrt{4}+\sqrt{ } 2
$$
e otteniamo
$$
\begin{gathered}
\frac{5+\sqrt{8}}{\sqrt{4}-\sqrt{2}} \
=\frac{(5+\sqrt{8}) \cdot(\sqrt{4}+\sqrt{2})}{(\sqrt{4}-\sqrt{2}) \cdot(\sqrt{4}+\sqrt{2})}=
\end{gathered}
$$
$$
\begin{gathered}
\frac{5 \sqrt{4}+\sqrt{32}+5 \sqrt{2}+\sqrt{16}}{4-2} \
=\frac{14+9 \sqrt{2}}{2}
\end{gathered}
$$
Denominatore con radicale quadratico
La frazione è del tipo
$$\frac{a}{\sqrt{b}}$$
Per razionalizzare il denominatore di una frazione di questo tipo basta moltiplicare numeratore e denominatore per $\sqrt{ } b$, che prende il nome di fattore razionalizzante.
$$
\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}=\frac{a \sqrt{b}}{b}
$$
Denominatore con radicale qualsiasi
La frazione è del tipo
$$
\frac{a}{\sqrt[n]{b^{m}}}
$$
con $n>m$. In questo caso il fattore razionalizzante è
$$
\sqrt[n]{b^{n-m}}
$$
La razionalizzazione sarà
$$
\frac{a}{\sqrt[n]{b^{m}}}=\frac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^{m}} \cdot \sqrt[n]{b^{n-m}}}=
$$
$$
=\frac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^{m} \cdot b^{n-m}}}
$$
$$
=\frac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{\sqrt[n]{b^{m}}}=\frac{a \sqrt[n]{b^{n-m}}}{b}
$$