Definizione di Radicale
Si chiama radicale il simbolo
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\sqrt[n]{a}
$$
dove $n$, numero intero positivo, si chiama indice del radicale, e a è detto radicando.
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\sqrt[n]{a}=b \Leftrightarrow b^n=a
$$
Esempi svolti
Esempio 1
Estrazione di radice da un radicale:
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\sqrt[3]{4 \sqrt{2}}
$$
Svolgimento
Possiamo scrivere 4 come $2^2$ e la radice di 2 come 2 elevato allal/ 2 .
Quindi possiamo applicare la proprietà delle potenze che ci dice che il prodotto di due potenze con la stessa è pari a una potenza che ha per base la stessa base, nel nostro caso 2, e come esponente la somma degli esponenti:
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=\sqrt[3]{2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[3]{2^{\frac{5}{2}}}
$$
Scrivendo la radice cubica sotto forma di potenza otteniamo:
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=\left(2^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{5}{6}}
$$
Esempio 2
Semplificare il seguente radicale
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\sqrt[4]{5^2 \cdot 4^2}
$$
Svolgimento
Scriviamo la radice quarta sotto forma di potenza:
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\sqrt[4]{20^2}=20^{2 \cdot \frac{1}{4}}
$$
Semplificando l’esponente otteniamo 20 elevato alla $1 / 2$ che equivale alla radice quadrata di 20 :
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=20^{\frac{1}{2}}=\sqrt{20}
$$
Scomponendo 20 in fattori primi e portando $2^2$ fuori il segno di radice otteniamo:
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=\sqrt{2^2 \cdot 5}=2 \sqrt{5}
$$
Prodotto tra Radicali
Il prodotto di due o più radicali con lo stesso indice è uguale ad un radicale con lo stesso indice avente per radicando il prodotto dei radicandi.
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\sqrt[n]{a \cdot b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}
$$
Quoziente tra Radicali
Il quoziente di due o più radicali con lo stesso indice è uguale ad un radicale con lo stesso indice avente per radicando il quoziente dei radicandi.
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\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, b \neq 0
$$
Proprietá Invariantiva
Moltiplicando o dividendo per uno stesso numero intero positivo l’indice di un radicale e l’esponente del suo radicando, il valore del radicale non cambia.
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\sqrt[n]{a}=\sqrt[n m]{a^m}
$$
Potenza di un Radicale
La potenza n-esima di un radicale di indice $n$ è uguale ad un radicale di indice $m$ avente per radicando la potenza del radicando dato.
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(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}
$$
Radice di Radice
La radice $n$-esima di una radice $m$-esima (radice di radice) è uguale ad un radicale che ha come indice il prodotto degli indici, mentre il radicando rimane invariato.
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\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[n m]{a}
$$
Trasporto di un fattore sotto Radice
Quando un radicale è moltiplicato per un numero positivo, tale fattore si può trasportare sotto il segno di radice, come fattore del radicando, purchè lo si elevi all’indice della radice.
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c \cdot \sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{a \cdot c^n}, c>0
$$