Proporzioni e Proprietà

Definizione di Proporzione

Una proporzione è un’uguaglianza tra due rapporti.


Esempi svolti

Esempio 1

Trovare due numeri tali che la loro somma sia 39 e il loro rapporto sia 8:5.

Indichiamo con a e b i due numeri da calcolare. Avremo:
a+b=39 e a:b=8:5

A questo punto possiamo applicare la proprietà del comporre alla proporzione
a:b=8:5

Pertanto otteniamo:
(a+b):a=(8+5):8

Possiamo sostituire 39 al valore a+b e abbiamo:
39:a=13:8

che risolta dà come valore:
a=398:13=24

Per ottenere il valore di b basta sottrarre il valore di a alla somma
b=39a=3924=15

Quindi i due numeri cercati sono a=24 e b=15

Esempio 2

Determinare due numeri sapendo che la loro differenza è 6 e il loro rapporto è 8/7.

Indichiamo con a e b i due segmenti da calcolare, avremo:
ab=6 e a:b=8:7

A questo punto possiamo applicare la proprietà dello scomporre alla proporzione
a:b=8:7

Pertanto otteniamo:
(ab):a=(87):8

Sostituendo 6 alla prima relazione abbiamo:
6:a=1:8
che risolta dà come risultato:
a=68:1=48

Per ottenere il valore di b basta sottrarre al valore di a la differenza data:
b=a6=486=42

I due numeri sono a=48 e b=42


Parti di una proporzione

Una proporzione si presenta nella seguente forma:
a:b=c:d
a e d si chiamano estremi

b e c si chiamano medi

a e c sono i termini antecedenti

b e d sono i termini conseguenti


Proprietà fondamentale

Il prodotto dei termini medi è uguale al prodotto dei termini estremi.

Se a:b=c:d allora bc=ad


Proprietà del permutare

Una proporzione rimane valida se si scambiano fra loro i medi o se si scambiano fra loro gli estremi.
Se 15:12=10:8 allora 15:10=12:8


Proprietà dell’invertire

Una proporzione rimane valida se si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente.

Se 15:45=12:36 allora 45:15=36:12


Proprietà del comporre

In una proporzione la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo termine) come la somma tra il terzo e il quarto termine sta al terzo (o al quarto termine).

Se 18:3=12:2 allora
(18+3):3=(12+2):2

La differenza del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo termine) come la differenza tra il terzo e il quarto termine sta al terzo (o al quarto termine).

Se 21:7=15:5 allora
(217):7=(155):5


Calcolo del termine incognito

Per trovare il termine incognito in una proporzione:

  • se è un termine medio si deve dividere il prodotto dei due estremi per il termine medio noto;
  • se è un termine estremo si deve dividere il prodotto dei due medi per il termine estremo noto.
SOS Matematica

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