Definizione di Proporzione
Una proporzione è un’uguaglianza tra due rapporti.
Esempi svolti
Esempio 1
Trovare due numeri tali che la loro somma sia 39 e il loro rapporto sia 8:5.
Indichiamo con a e b i due numeri da calcolare. Avremo:
$$
\begin{gathered}
a+b=39 \
e \
a: b=8: 5
\end{gathered}
$$
A questo punto possiamo applicare la proprietà del comporre alla proporzione
$$
a: b=8: 5
$$
Pertanto otteniamo:
$$
(a+b): a=(8+5): 8
$$
Possiamo sostituire 39 al valore $a+b$ e abbiamo:
$$
39: a=13: 8
$$
che risolta dà come valore:
$$
a=39 \cdot 8: 13=24
$$
Per ottenere il valore di b basta sottrarre il valore di a alla somma
$$
b=39-a=39-24=15
$$
Quindi i due numeri cercati sono $a=24$ e $b=15$
Esempio 2
Determinare due numeri sapendo che la loro differenza è 6 e il loro rapporto è $8 / 7$.
Indichiamo con a e b i due segmenti da calcolare, avremo:
$$
\begin{gathered}
a-b=6 \
e \
a: b=8: 7
\end{gathered}
$$
A questo punto possiamo applicare la proprietà dello scomporre alla proporzione
$$
a: b=8: 7
$$
Pertanto otteniamo:
$$
(\mathrm{a}-\mathrm{b}): \mathrm{a}=(8-7): 8
$$
Sostituendo 6 alla prima relazione abbiamo:
$$
6: a=1: 8
$$
che risolta dà come risultato:
$$
a=6 \cdot 8: 1=48
$$
Per ottenere il valore di $\mathbf{b}$ basta sottrarre al valore di a la differenza data:
$$
b=a-6=48-6=42
$$
I due numeri sono $a=48$ e $b=42$
Parti di una proporzione
Una proporzione si presenta nella seguente forma:
$$
a: b=c: d
$$
a e d si chiamano estremi
b e c si chiamano medi
a e c sono i termini antecedenti
b e d sono i termini conseguenti
Proprietà fondamentale
Il prodotto dei termini medi è uguale al prodotto dei termini estremi.
Se $\mathbf{a}: \mathbf{b}=\mathbf{c}: \mathbf{d}$ allora $\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{d}$
Proprietà del permutare
Una proporzione rimane valida se si scambiano fra loro i medi o se si scambiano fra loro gli estremi.
Se $15: 12=10: 8$ allora $15: 10=12: 8$
Proprietà dell’invertire
Una proporzione rimane valida se si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente.
Se $15: 45=12: 36$ allora $45: 15=36: 12$
Proprietà del comporre
In una proporzione la somma del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo termine) come la somma tra il terzo e il quarto termine sta al terzo (o al quarto termine).
Se $18: 3=12: 2$ allora
$(18+3): 3=(12+2): 2$
La differenza del primo e del secondo termine sta al primo (o al secondo termine) come la differenza tra il terzo e il quarto termine sta al terzo (o al quarto termine).
Se $21: 7=15: 5$ allora
$(21-7): 7=(15-5): 5$
Calcolo del termine incognito
Per trovare il termine incognito in una proporzione:
- se è un termine medio si deve dividere il prodotto dei due estremi per il termine medio noto;
- se è un termine estremo si deve dividere il prodotto dei due medi per il termine estremo noto.