Definizione di Prodotto Notevole
Un Prodotto Notevole è un’identità che compare spesso nel calcolo letterale, in particolare per effettuare il prodotto di polinomi di forme particolari.
Quadrato di un Binomio
E’ uguale al quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo per il secondo, più il quadrato del secondo termine.
$$
(a+b)^2=a^2+2 a b+b^2
$$
$$
(a-b)^2=a^2-2 a b+b^2
$$
Quadrato di un Trinomio
E’ uguale allla somma dei quadrati dei tre termini, più i tre doppi prodotti ognuno con il segno che gli compete.
$$
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+
$$
$$
+2 a b+2 a c+2 b c
$$
Differenza di Due Quadrati
$$
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
$$
Cubo di un Binomio triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo termine.
$$
\begin{aligned}
(a+b)^3=& a^3+3 a^2 b+3 a b^2 \
&+b^3 \
(a-b)^3=& a^3-3 a^2 b+3 a b^2 \
&-b^3
\end{aligned}
$$
Somma di Due Cubi
$$
\begin{gathered}
(a+b)\left(a^2-a b+b^2\right)=a^3 \
+b^3
\end{gathered}
$$
Differenza di Due Cubi
$$
\begin{gathered}
(a-b)\left(a^2+a b+b^2\right)=a^3 \
-b^3
\end{gathered}
$$
Esempi svolti
Calcolare il seguente cubo di un binomio:
$$
(x+2 y)^3
$$
Svolgimento
$$
\begin{gathered}
=x^3+(2 y)^3+3 x^2(2 y) \
+3 x(2 y)^2 \
=x^3+8 y^3+6 x^2 y+12 x y^2
\end{gathered}
$$