Definizione di Probabilità Condizionata
La probabilità di un evento $A$ condizionata (o subordinata) all’evento B è la probabilità del verificarsi di $A$ nell’ipotesi che $B$ si sia verificato.
La probabilità condizionata si indica nel seguente modo:
$$
P(A \mid B)
$$
che si legge “la probabilità di A dato $B$ “.
Formula
La formula generale per il calcolo della probabilità condizionata è data dalla relazione:
$$
P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}
$$
Ovviamente si deduce che:
$$
P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}
$$
Probabilità Condizionata per Eventi Indipendenti
Se gli eventi A e B sono indipendenti fra loro, cioè il verificarsi di A non dipende dal verificarsi dell’evento $B$, allora risulta:
$$
\begin{aligned}
P(A \mid B) &=P(A) \quad P(B \mid A) \
&=P(B)
\end{aligned}
$$
Quindi, nel caso di eventi indipendenti, andando a sostituire il valore $P ( A )$ nella formula generale, avremo che:
$$
P(A)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}
$$
Cioè:
$$
P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)
$$
Esempi svolti
Da un mazzo di 52 carte determinare la probabilità che esca una figura sapendo che è uscita una carta rossa.
Svolgimento
Consideriamo i due eventi:
$A=$ esce una figura
$B =$ esce una carta rossa
Calcoliamo la probabilità di A (esce una figura) applicando la formula generale della probabilità classica. In un mazzo da 52 carte le figure per ogni seme sono 3. Poichè ci sono 4 semi abbiamo che le figure totali sono 12. Quindi avremo che:
$$
\begin{aligned}
&P(A)=\frac{12}{52} \
&P(A)=\frac{3}{13}
\end{aligned}
$$
Calcoliamo ora la probabilità di B (esce una carta rossa). Per ogni seme ci sono 13 carte, poichè i semi di colore rosso sono due, le carte rosse sono in totale 26.
Abbiamo quindi:
$$
\begin{array}{r}
P(B)=\frac{26}{52} \
P(B)=\frac{1}{2}
\end{array}
$$
Per ogni seme rosso si hanno 3 figure, quindi in totale avremo 6 figure rosse. La probabilità dell’intersezione dei due eventi A e B è:
$$
P(A \cap B)=\frac{6}{52}
$$
Applicando la formula della probabilità condizionata
$$
P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}
$$
possiamo ricavare la probabilità che esce una figura sapendo che è uscita una carta rossa:
$$
\begin{array}{r}
P(A \mid B)=\frac{6 / 52}{26 / 52} \
P(A \mid B)=\frac{6}{26}
\end{array}
$$