Definizione di Matrice
Un insieme di numeri ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine $\mathrm{m} \times \mathrm{n}$, dove $\mathrm{m}$ è il numero delle righe e $\mathrm{n}$ il numero delle colonne.
Esempi svolti
Date le matrici A e B, determinare il prodotto $\mathrm{A} \cdot \mathrm{B}$.
$$A=\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \cdot B$$
$$=\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} $$
Svolgimento
$$c_{1,1}=(-1) \cdot 3+0 \cdot 0 $$
$$c_{1,1}=-3 $$
$$c_{1,2}=(-1) \cdot(-4)+0 \cdot 5=4$$
$$c_{2,1}=4 \cdot 3+3 \cdot 0 $$
$$c_{2,1}=12 $$
$$c_{2,2}=4 \cdot(-4)+3 \cdot 5 $$
$$c_{2,2}=-1 $$
$$A\cdot B=\begin{bmatrix} -3 & 4 \\ 12 & -1 \end{bmatrix} $$
Matrice Quadrata
Una matrice si dice Quadrata se $m=n$, dove $\mathrm{m}$ è il numero delle righe e $\mathbf{n}$ il numero delle colonne.
$$\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1, n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m, 1} & a_{m, 2} & \cdots & a_{m, n} \end{bmatrix} $$
Matrice Nulla
La matrice nulla è la matrice i cui elementi sono tutti uguali a zero.
Matrice Opposta
La matrice opposta di A, che viene indicata con il simbolo -A, è la matrice, dello stesso tipo di A, i cui elementi sono gli opposti dei corrispondenti elementi di A.
Matrice Trasposta
Data una matrice A di tipo $(m, n)$ si definisce trasposta di A, e si indica con $A(T)$, la matrice di tipo ($\mathrm{n}, \mathrm{m}$ ) che si ottiene da A scambiando ordinatamente le righe con le colonne.
Addizione tra matrici
Date due matrici A e B quadrate e dello stesso ordine, si definisce loro somma:
$$
C=A+B
$$
la matrice $\mathrm{C}$ i cui elementi sono le somme dei corrispondenti elementi di A e B:
$$
c_{m, n}=a_{m, n}+b_{m, n}
$$
Moltiplicazione per un numero
Si definisce prodotto di un numero reale $\mathrm{k}$ per una matrice A, la matrice kA i cui elementi sono quelli di A moltiplicati per k.
Prodotto tra matrici
Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine, si definisce loro prodotto righe per colonne:
$$
C=A \cdot B
$$
la matrice i cui elementi c(hk) si ottengono come somma dei prodotti degli elementi della riga h-esima di A per gli elementi della colonna k-esima di B.