Definizione di Massimo Comune Divisore
Si dice massimo comune divisore di due numeri naturali non nulli a e b, e si indica con la scrittura MCD (a, b), il maggiore dei divisori comuni ad a e b. Il massimo comune divisore di tre o più numeri è il maggiore dei divisori comuni a tutti.
Definizione di minimo comune multiplo
Si dice minimo comune multiplo di due numeri non nulli a e b, e si indica con la scrittura $\mathrm{mcm}(\mathrm{a}, \mathrm{b})$, il minore tra i multipli comuni ad a e b. Il minimo comune multiplo di tre o più numeri è il minore dei multipli comuni a tutti.
Esempi svolti
Esempio 1
Calcoliamo il MCD dei numeri 54, 18 e 76
Si scompongono i numeri in fattori primi
$$
\begin{aligned}
& 54=2 \cdot 3^3 \
& 18=2 \cdot 3^2 \
& 76=2^2 \cdot 19
\end{aligned}
$$
Osserviamo che:
- il fattore 3 non è contenuto in 76
- il fattore 19 non è contenuto nè in 54 nè in 18
- tutti e tre i numeri sono divisibili per 2 , ma non per $2^2$
Il loro MCD è pertanto 2
Esempio 2
Calcoliamo il mcm dei numeri 30 e 40.
$$
\begin{aligned}
& 30=2 \cdot 3 \cdot 5 \
& 40=2^3 \cdot 5
\end{aligned}
$$
I fattori primi sono 2,3 e 5 e vanno presi rispettivamente con esponente 3,1 e 1.
Quindi il $\mathrm{mcm}$ dei due numeri è il loro prodotto 120.
Come calcolare il MCD
Per calcolare il MCD di due numeri:
- Si scompongono in fattori primi i due numeri
- Si prendono tutti i fattori comuni, una sola volta e con l’esponente minore
- II MCD è il prodotto fra questi numeri
Come calcolare il mcm
Per calcolare il mcm di due numeri:
- Si scompongono in fattori primi i due numeri
- Si prendono tutti i fattori comuni e non comuni, una sola volta e con l’esponente maggiore
- Il mcm è il prodotto fra questi numeri