Definizione di Logaritmo
La funzione logaritmo in base a è la funzione inversa rispetto alla funzione esponenziale in base a. Si dice, cioè, logaritmo in base a di un numero $x$ I’esponente da dare ad a per ottenere $x$ ( $x$ viene chiamato argomento del logaritmo).
$$
\log _a b=x \Leftrightarrow a^x=b $$
$$a>0, a \neq 1 \
b>0, \forall x \in R
$$
Esempi svolti
Esempio 1
Calcolare il valore del logaritmo:
$$
\log _{25} \frac{1}{5}=x
$$
Svolgimento
$$
25^x=\frac{1}{5} $$
$$5^{2 x}=5^{-1} $$
$$2 x=-1 $$
$$x=-\frac{1}{2}
$$
Esempio 2
Determinare il valore del logaritmo:
$$
\log _{\frac{1}{5}} \sqrt[3]{25}=x
$$
Svolgimento
$$
\left(\frac{1}{5}\right)^x=\sqrt[3]{25} $$
$$\left(\frac{1}{5}\right)^x=5^{\frac{2}{3}} $$
$$\left(\frac{1}{5}\right)^x=\left(\frac{1}{5}\right)^{-\frac{2}{3}} $$
$$x=-\frac{2}{3}
$$
Prima Proprietà
Il logaritmo del prodotto è la somma dei logaritmi.
$$
\log _a(m \cdot n)=\log _a m+\log _a n
$$
$$
a>0, a \neq 1 \
m>0, n>0
$$
Seconda Proprietà
Il logaritmo del rapporto è la differenza dei logaritmi.
$$
\log _a \frac{m}{n} =\log _a m-\log _a n $$
$$a >0, a \neq 1 $$
$$m >0, n>0
$$
Terza Proprietà
Regola dell’esponente: ogni volta che all’argomento compare un esponente, questo può essere portato davanti al logaritmo in modo tale da diventare un coefficiente.
$$
\log _a m^n=n \cdot \log _a m $$
$$a>0, a \neq 1 $$
$$m>0, n \in R
$$
Quarta Proprietà
Il logaritmo di una radice è uguale al prodotto dell’inverso dell’indice della radice per il logaritmo del radicando.
$$
\log _a \sqrt[n]{m}=\frac{1}{n} \cdot \log _a m $$
$$a>0, a \neq 1
$$
$$
m>0, n \in N_0
$$
Quinta Proprietà
Cambiamento di base: il logaritmo di un numero positivo $c$ rispetto ad una nuova base $b$ è uguale al rapporto fra il logaritmo di $c$ in base $b$ e il logaritmo di a in base $b$.
$$
\log _a c=\frac{\log _b c}{\log _b a} $$
$$ a>0, a \neq 1 $$
$$ b>0, b \neq 1, c>0$$