Definizione di Formule Goniometriche
Le formule goniometriche sono formule fondamentali che permettono di calcolare le funzioni goniometriche della somma di due angoli o della loro differenza, della metà, del doppio e così via.
Esempi svolti
Calcoliamo il seno e il coseno di $75^{\circ}$.
Svolgimento
L’angolo $75^{\circ}$ può essere scirtto come
$$
75^{\circ}=30^{\circ}+45^{\circ}
$$
Applichiamo le formule di addizione del seno e del coseno e otteniamo:
$$
\sin \left(30^{\circ}+45^{\circ}\right)$$
$$\sin 30^{\circ} \ \cdot \cos 45^{\circ}+\sin 45^{\circ} \cdot \cos 30^{\circ} \ \cos \left(30^{\circ}+45^{\circ}\right)$$
$$\cos 30^{\circ} \ \cdot \cos 45^{\circ}-\sin 45^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ}
$$
Sappiamo che:
$$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$$
$$\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos 45^{\circ}=\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Pertanto sostituiamo questi valori nelle espressioni precedenti e svolgendo i calcoli otteniamo che il seno di $75^{\circ}$ è:
$$
\begin{aligned}
\sin 75^{\circ}= & \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \
& \sin 75^{\circ}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}
\end{aligned}
$$
e il coseno di $75^{\circ}$ è:
$$
\begin{aligned}
\cos 75^{\circ}= & \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \
& \cos 75^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
\end{aligned}
$$
Formule di Addizione e Sottrazione
$$
\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta \
-\cos \alpha \cdot \sin \beta $$
$$\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta \
+\cos \alpha \cdot \sin \beta $$
$$\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta \
+\sin \alpha \cdot \sin \beta $$
$$\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta \
-\sin \alpha \cdot \sin \beta $$
$$\tan (\alpha-\beta) \
=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \cdot \tan \beta} $$
$$\tan (\alpha+\beta) \
=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta}
$$
Formule di Duplicazione
$$
\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha $$
$$\cos 2 \alpha=\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \alpha $$
$$\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^2 \alpha}
$$
Formule di Bisezione
$$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}} $$
$$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} $$
$$\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}
$$
Formule Parametriche
$$
\sin \alpha =\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^2 \frac{\alpha}{2}} $$
$$\cos \alpha =\frac{1-\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}{1+\tan ^2 \frac{\alpha}{2}} $$
$$\tan \alpha =\frac{2 \tan \frac{\alpha}{2}}{1-\tan ^2 \frac{\alpha}{2}}
$$
Formule di Prostaferesi
$$\sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \ \cdot \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $$
$$\sin \alpha-\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \ \cdot \cos \frac{\alpha+\beta}{2} $$
$$\cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \ \cdot \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $$
$$\cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \ \cdot \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$$
Formule di Werner
$$\sin \alpha \cdot \sin \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha-\beta) \
-\cos (\alpha+\beta)] $$
$$\cos \alpha \cdot \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta) \
+\cos (\alpha-\beta)] $$
$$\sin \alpha \cdot \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta) \
+\sin (\alpha-\beta)]$$