Definizione di Equazione Esponenziale
Le equazioni esponenziali sono equazioni in cui l’incognita figura all’esponente.
$$
a^x=b
$$
Esempi svolti
Esempio 1
Determinare la soluzione della seguente equazione esponenziale:
$$
4^{x^2-6}=64
$$
Svolgimento
Trasformiamo l’equazione in modo tale da avere la stessa base:
$$
2^{2 \cdot\left(x^2-6\right)}=2^6
$$
A questo punto possiamo risolvere normalmente l’equazione:
$$
2 x^2-12=6 $$
$$x^2=9
$$
Le soluzioni dell’ equazione esponenziale data è:
$$
x= \pm 3
$$
Esempio 2
Determinare la soluzione dell’equazione esponenziale:
$$
3^{2 x^2-7 x-6}=27
$$
Svolgimento
Trasformiamo l’equazione in modo tale da avere la stessa base:
$$
3^{2 x^2-7 x-6}=3^3
$$
Si tratta di un’equazione di secondo grado, pertanto occorre calcolare il discriminante:
$$
2 x^2-7 x-6=3 $$
$$
2 x^2-7 x-9=0 $$
$$
\Delta=49-4(2)(-9)=121 $$
$$x_1=\frac{7+11}{4}=\frac{18}{4}
$$
Le soluzioni dell’equazione sono:
$$x_1=\frac{9}{2} $$
e
$$x_2=\frac{7-11}{4}=-1$$
Equazione Impossibile
Una equazione si dice impossibile quando non ammette nessuna soluzione.
$$
b \leq 0
$$
oppure
$$
a=1, b \neq 1
$$
Equazione Indeterminata
Una equazione si dice indeterminata quando può ammettere come soluzione ogni valore di x reale
$$
a=1, b=1
$$
Equazione Determinata
Una equazione si dice determinata se ammette un’unica soluzione
$$
a>0 \quad a \neq 1 \quad b>0
$$