Definizione di Equazione quadratica
Un’equazione algebrica di $2^{\circ}$ grado si presenta nella forma:
$$
\begin{array}{c}
a x^2+b x+c=0 \
a \neq 0
\end{array}
$$
Esempi svolti
Esempio 1
Determinare le soluzione dell’equazione
$$
x^2-4 x+3=0
$$
Svolgimento
Per prima cosa calcoliamo il valore del discriminante applicando la formula:
$$
\Delta=b^2-4 a c
$$
Sostituiamo i valori noti e abbiamo:
$$
\begin{array}{c}
\Delta=(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3 \
=16-12=4>0 \
x_{1,2}=\frac{4 \pm \sqrt{4}}{2}=
\end{array}
$$
Le soluzioni sono:
$$
x_1=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3
$$
e
$$
x_2=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1
$$
Esempio 2
Determinare le soluzioni dell’equazione
$$
4 x^2+32 x=0
$$
Svolgimento
Si tratta di un’equazione spuria, dividiamo tutto per 4 e otteniamo:
$$
\begin{array}{c}
x^2+8 x=0 \
x(x+8)=0 \
x_1=0 \quad x_2=-8
\end{array}
$$
Formula Risolutiva
Se $b \neq 0$ e $c \neq 0$ l’equazione si dice in forma completa e si risolve utilizzando la formula risolutiva:
Formula Risolutiva
Se $b \neq 0$ e $c \neq 0$ l’equazione si dice in forma completa e si risolve utilizzando la formula risolutiva:
$$
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}
$$
Discriminante
$$
\Delta=b^2-4 a c
$$
Equazione Pura
Se $b=0$ e $c \neq 0$ l’equazione si dice pura e diventa:
$$
a x^2+c=0
$$
Le due soluzioni sono:
$$
x= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}
$$
Equazione Spuria
Se $b \neq 0$ e $c=0$ l’equazione si dice spuria e si risolve raccogliendo
$$
x(a x+b)=0
$$
Per cui le soluzioni sono:
$$
x_1=0, x_2=-\frac{b}{a}
$$